[論文レビュー] Topological entropy of nonautonomous dynamical systems

Kairan Liu, Yixiao Qiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 100

ひとこと要約

論文は、非自動的ダイナミカルシステム (NADS) において、X 上のゼロトップロジーエントロピー iff X 上の導出測度系のエントロピーがゼロであること、かつ X 上の正エントロピーは導出系のエントロピーを無限にすることを証明し、有限‑to‑one 拡張ではエントロピーが保存されない反例を示す。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}(X)$ be the space of Borel probability measures on a compact metric space $X$ endowed with the weak$^\ast$-topology. In this paper, we prove that if the topological entropy of a nonautonomous dynamical system $(X,\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$ vanishes, then so does that of its induced system $(\mathcal{M}(X),\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$; moreover, once the topological entropy of $(X,\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$ is positive, that of its induced system $(\mathcal{M}(X),\{f_n\}_{n=1}^{+\infty})$ jumps to infinity. In contrast to Bowen's inequality, we construct a nonautonomous dynamical system whose topological entropy is not preserved under a finite-to-one extension.

研究の動機と目的

• 非自動ダイナミカルシステム (NADS) とそれに対応する測度系におけるエントロピーの研究動機付け。
• NADS とその確率測度系におけるエントロピーの正確な関係を確立。
• 非自動設定における拡張でエントロピーが保存されるかを調査。
• NADS におけるBowen 型エントロピー不等式の限界を示す構成を提供。

提案手法

• Borel 確率測度空間上の弱学習トポロジーを用いた導出系の定義。
• 導出系に対して h_top(X, {f_n}) = 0 ⇔ h_top(M(X), {f_n}) = 0 を証明。
• X^k を M(X) に埋め込み、単射・同変写像を用いて h_top(X, {f_n}) > 0 ⇔ h_top(M(X), {f_n}) = +∞ を示す。
• 非自動設定におけるエントロピーを保存しない有限対一拡張の具体的反例を構成。
• 補集合論的補題（Lemma 4.1）を用いて、被覆議論によりエントロピーの下限を導出。
• X のエントロピー不等式 h_top(X) > h_top(Y) が成り立つ、具体的で明示的な有限対一拡張を提供し、自動的ケースのBowen 不等式に反する例を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NADS のゼロエントロピーは、その導出測度系のゼロエントロピーを含意するか、またその逆はか。
• RQ2 NADS の正エントロピーと導出測度系のエントロピーの関係はどうなるか。
• RQ3 古典的（自動的）設定と同様に、NADS における有限対一拡張でエントロピーは保存されるか。
• RQ4 Bowen の不等式がNADS で成り立たないことを示す明示的な反例は構成できるか。
• RQ5 X^k を導出系に埋め込んでエントロピーの下限を得る方法はどう設計するか。

主な発見

• h_top(X, {f_n}) = 0 iff h_top(M(X), {f_n}) = 0.
• h_top(X, {f_n}) > 0 iff h_top(M(X), {f_n}) = +∞.
• 任意の k に対して、導出座標写像を用いた X^k のエントロピーは k · h_top(X, {f_n}) であり、したがって h_top(X, {f_n}) > 0 のとき導出系は無限エントロピーを持つ。
• 有限対一拡張 (X, {f_n}) → (Y, {g_n}) が存在し、h_top(X, {f_n}) > h_top(Y, {g_n}) となる例があるため、NADS には一般に Bowen のエントロピー不等式が成り立たないことを示している。
• 本論文は非自動設定における有限対一拡張でのエントロピー保存の失敗を示す実践的な反例を提供する。