[論文レビュー] Topological equisingularity of function germs with 1-dimensional critical set

Javier Fernández de Bobadilla|ArXiv.org|Mar 21, 2006

Meromorphic and Entire Functions参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元的特異点集合をもつ正則関数の局所的関数への等値特異性の概念を導入し、その等値特異性が位相的 R-等値特異性を意味することを証明する。また、定数の一般性のある Lê 数が特異点集合における等値特異性を意味することを示し、D. Massey が提起した問題を解決する。さらに、非平坦で特異な特異点集合を持つ変形を伴う位相的等値特異性の新しい例を構成する。

ABSTRACT

We focus on topological equisingularity of families of holomorphic function germs with 1-dimensional critical set. We introduce the notion of equisingularity at the critical set and prove that any family which is equisingular at the critical set is topologically equisingular. We show that if a family of germs with 1-dimensional critical set has constant generic Le numbers then it is equisingular at the critical set, and hence topologically equisingular (answering a question of D. Massey). We use this to modify the definition of singularity stem present in the literature, introducing and characterising topological stems (being this concept closely related with Arnold's series of singularities). We provide another sufficient condition for topological equisingularity for families whose reduced critical set is deformed flatly. Finally we study how the critical set can be deformed in a topologically equisingular family and provide examples of topologically equisingular families whose critical set is a non-flat deformation with singular special fibre and smooth generic fibre.

研究の動機と目的

• 非孤立特異点をもつ正則関数の局所的関数における位相的等値特異性に関する未解決問題に取り組むこと、特に特異点集合が1次元である場合に焦点を当てる。
• D. Massey が提起した、定数の一般性のある Lê 数をもつ族の位相的等値特異性に関する問題を解決すること。
• 位相的茎の概念を再定義・特徴づけ、Arnold の特異点系列と関連づけ、Lê 数が等値特異性における役割を明確にすること。
• 位相的等値特異性族における特異点集合の変形挙動を分析すること、特に特異点集合が平坦に変形されない場合に注目する。
• 特異点集合が特別なファイバーで特異的であるが一般ファイバーで滑らかであるような、位相的等値特異性族の新しい例を構成することにより、古典的期待をくつがえす。

提案手法

• 特異点集合における等値特異性の概念を導入し、特異点集合を自明化し、横断的ミルナー数による分割を保つ自己同相写像の族を用いて定義する。
• 座標系に付随する極小不変量である Lê 数——特に一般性のある Lê 数——を、特異点集合における等値特異性を検出する主要な道具として用いる。
• ミルナーのファイブレーションおよび埋め込まれたリンクの理論の結果を応用し、n ≥ 4 のとき、ミルナー数が一定であれば抽象的リンクのホモトピー型も一定であるという事実を活用する。
• 重み付き斉次構造とパラメトライゼーション（例：(x,y,z) ↦ (t⁻¹x, t⁻¹y, t⁻¹z)）を用いて特異点集合を分析し、横断的ミルナー数の一定性を検証する。
• 具体的な関数族（例：fₜ = (ty − xz)⁹ + (tx³ − y²z)⁴ + (y³ − x⁴)³ + (t³x − z³)¹²）を構成し、特異点集合における等値特異性および位相的 R-等値特異性を示す。
• 安定化として gₜ = fₜ + uᵃ + vᵇ を用いることで、特に n ≥ 5 の場合に主な等値特異性定理を適用するための次元条件を満たし、等値特異性の保持を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元的特異点集合と定数の一般性のある Lê 数をもつ正則関数の局所的関数族は、位相的 R-等値特異性をもつか？
• RQ2 特異点集合における等値特異性と関連づけて、Arnold の特異点系列と関係づけて、位相的茎の概念を再定義・特徴づけられるか？
• RQ3 特異点集合が非平坦に変形され、特別なファイバーで特異的で一般ファイバーで滑らかであるような位相的等値特異性族が存在するか？
• RQ4 特異点集合における等値特異性が位相的等値特異性を意味するための条件は何か、特にミルナー数や多重度が一定でない場合に注目する。
• RQ5 所望の特異点集合構造と横断的ミルナー数をもつ、非等倍の位相的等値特異性族を構成できるか？

主な発見

• 1次元的特異点集合をもつ正則関数の局所的関数族が、特異点集合を自明化し、横断的ミルナー数の分割を保つことで定義される特異点集合における等値特異性をもてば、位相的 R-等値特異性をもつ。
• 定数の一般性のある Lê 数は、特異点集合における等値特異性を意味し、したがって位相的 R-等値特異性を意味する。これは D. Massey が提起した問題に対する肯定的解答を提供する。
• 関数族 fₜ = (ty − xz)⁹ + (tx³ − y²z)⁴ + (y³ − x⁴)³ + (t³x − z³)¹² は、(t⁻¹x, t⁻¹y, t⁻¹z) でパラメトライズされた特異点集合をもち、t = 0 で特異的で、t ≠ 0 で滑らかであるが、特異点集合においては等値特異性を保つ。
• 特異点集合の原点以外の点では横断的ミルナー数が6、原点では18であるが、低次の項の制御のおかげで、特異点集合における等値特異性は保たれている。
• gₜ = fₜ + uᵃ + vᵇ を用いた安定化は、特異点集合における等値特異性を保ち、n ≥ 5 の場合に位相的 R-等値特異性を保証する。これにより、フレームワークの頑健性が確認された。
• 本稿では、1次元的特異点集合をもつ2つの位相的 R-同値関数の例を初めて構成した。一方の関数は原点で特異的特異点集合をもち、他方は滑らかな特異点集合をもつ。これは、位相的等値特異性における新しい変形挙動を示している。