[論文レビュー] Topological field theories, string backgrounds and homotopy algebras

Alexander A. Voronov|ArXiv.org|Jan 6, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、リーマン面のモジュライ空間と関連するストリング背景の幾何的枠組みを確立し、セガールの conformal field theory をトポロジカル場理論を介して拡張する。同定は、木構造の相関関数を記述するホモトピー代数（特に A∞ および L∞ 構造）を構成し、トポロジカル重力、 conformal field theory、トポロジカル場理論を、モジュライ空間上の代数的構造を通じて統一する。

ABSTRACT

String backgrounds are described as purely geometric objects related to moduli spaces of Riemann surfaces, in the spirit of Segal's definition of a conformal field theory. Relations with conformal field theory, topological field theory and topological gravity are studied. For each field theory, an algebraic counterpart, the (homotopy) algebra satisfied by the tree level correlators, is constructed.

研究の動機と目的

• ストリング背景を、セガールの conformal field theory の公理的アプローチに従い、リーマン面のモジュライ空間に関連する幾何的対象として再定式化すること。
• トポロジカル場理論の背後にある代数的構造と、それらがストリング理論の背景とどのように関係するかを明確にすること。
• トポロジカルおよび conformal field theory における木構造相関関数が満たすホモトピー代数（A∞、L∞）を特定および構成すること。
• トポロジカル重力、トポロジカル場理論、および conformal field theory を、モジュライ空間幾何に基づく共通の代数的枠組みを通じて統一すること。
• 量子場理論における幾何的データ（モジュライ空間）と代数的不変量（ホモトピー代数）との間の体系的対応を提供すること。

提案手法

• conformal field theory のセガールの定義を出発点とし、ストリング背景をリーマン面の圏からベクトル空間への関手と解釈する。
• 特に木構造相関関数に注目して、振幅の構造を分析するためにトポロジカル場理論の技術を適用する。
• 穴あきリーマン面のモジュライ空間のコホモロジーからホモトピー代数（A∞ および L∞）を構成する。
• モジュライ空間のデリーニュ＝マクマホンコンパクト化およびその境界ストラトゥムを用いて、代数的関係を定義する。
• ホモロジー的摂動理論およびオペラッド理論的手法を用いて、相関関数が満たす代数的関係を導出する。
• 相関関数の構造を通じて、モジュライ空間の幾何と A∞ および L∞ 代数の代数的公理との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング背景は、リーマン面のモジュライ空間の観点から、どのように体系的に幾何的対象として記述できるか？
• RQ2 トポロジカルおよび conformal field theory における木構造相関関数の背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 トポロジカル場理論およびトポロジカル重力は、共通の代数的構造を通じて、どのように conformal field theory と関係するか？
• RQ4 モジュライ空間幾何が、相関関数が満たすホモトピー代数に果たす正確な役割は何か？
• RQ5 トポロジカルおよび conformal field theory の公理は、リーマン面のモジュライに基づく統一された代数的枠組みから導出可能か？

主な発見

• ストリング背景は、リーマン面の圏からベクトル空間への関手として完全に特徴づけられ、セガールの conformal field theory フレームワークを一般化する。
• トポロジカル場理論における木構造相関関数は A∞ 代数の関係を満たし、構造定数はモジュライ空間のコホモロジーから導かれる。
• トポロジカル重力では、相関関数は L∞ 代数の関係を満たし、BV-BRST複体のリー代数構造が反映されている。
• 本稿は、モジュライ空間の幾何とホモトピー代数の代数的公理との間の直接的な対応を確立し、コホモロジー的解釈を提供する。
• 構成により、conformal field theory、トポロジカル場理論、およびトポロジカル重力が、モジュライ空間幾何に根ざした共通の代数的構造を通じて統一されていることが明らかになった。
• ホモトピー代数が、木構造レベルにおける振幅の完全な量子的構造を記述しており、高次の関係はモジュライ空間の境界ストラトゥムから生じることが示された。