[論文レビュー] Topological Field Theory on a Lattice, Discrete Theta-Angles and Confinement

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限アーベルな磁気ゲージ群 Π₂ に値をとる離散的2形式ゲージ場 h を用いて、4次元ゲージ理論の閉じ込め相を記述するラティス位相的量子場理論（TQFT）を定式化する。この理論において、θ-角が量子化されており、Π₂ 上の二次関数によって分類されることを示す。これは、連続的ヤン・ミルズ理論で得られた離散的θ-角を一般化したものである。主な結果として、θ-角が非ゼロの場合、このTQFTは通常のゲージ理論と双対でないことが示され、その分配関数が4次元多様体の符号数に依存することから、標準的な位相的ゲージ理論とは区別される。

ABSTRACT

We study a topological field theory describing confining phases of gauge theories in four dimensions. It can be formulated on a lattice using a discrete 2-form field talking values in a finite abelian group (the magnetic gauge group). We show that possible theta-angles in such a theory are quantized and labeled by quadratic functions on the magnetic gauge group. When the theta-angles vanish, the theory is dual to an ordinary topological gauge theory, but in general it is not isomorphic to it. We also explain how to couple a lattice Yang-Mills theory to a TQFT of this kind so that the 't Hooft flux is well-defined, and quantized values of the theta-angles are allowed. The quantized theta-angles include the discrete theta-angles recently identified by Aharony, Seiberg and Tachikawa.

研究の動機と目的

• 4次元ゲージ理論の閉じ込め相を、ラティス上での位相的量子場理論（TQFT）として定式化すること。
• このようなTQFTにおける許容されるθ-角を特定・分類し、それらが磁気ゲージ群 Π₂ 上の二次関数によって記述されることを示すこと。
• 連続的θ-角のラティス実装が欠落していた問題を解決し、低エネルギーTQFTと整合する量子化されたθ-角を持つラティスヤン・ミルズ理論の定式化を確立すること。
• アハロニ、セイバーグ、タチカワが特定した離散的θ-角の微視的起源と、ラインオペレーターのスペクトルにおける役割を明確にすること。

提案手法

• 磁気ゲージ群としての有限アーベル群 Π₂ に値をとる離散的2形式場 h を用いたラティスTQFTを定式化する。
• h のポントリャーギン平方を用いて位相的作用を定義し、コhomology類 H²(K, Π₂) を H⁴(K, Γ(Π₂)) に写像する。これはカップ積の二次的修正を用いる。
• θ-角が非ゼロの場合、分配関数が4次元多様体の符号数に依存することを示し、これにより標準的な位相的ゲージ理論とは区別されることを明確にする。
• θ-角がゼロの場合、ポントリャーギン双対群 Π₂* を用いてB場とゲージ場の間の双対性を確立し、電磁双対性がθ-角が消える場合にのみ成立することを示す。
• TQFTにカップリングされたラティスヤン・ミルズ理論を構築し、't Hooftフラックスが適切に定義され、量子化されることを保証する。このとき、低エネルギーTQFTにおけるθ-角と一致する。
• 一般の状況でポントリャーギン平方を定義するために、単体コホモロジーにおける ∪¹ カップ積作用素を用い、ゲージ変換およびコホモロジー類の依存性に関して整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元ゲージ理論の閉じ込め相を、離散的2形式場のみを用いてラティス上で一貫して定式化することは可能か？
• RQ2 このようなラティスTQFTにおける許容されるθ-角の数学的分類は何か？また、それらは磁気ゲージ群 Π₂ とどのように関係するか？
• RQ3 θ-角が非ゼロの場合、なぜTQFTが通常の位相的ゲージ理論と同値でないのか？また、その分配関数は4次元多様体の位相的性質にどのように依存するか？
• RQ4 アハロニ、セイバーグ、タチカワが連続的ヤン・ミルズ理論で同定した離散的θ-角は、ラティス形式で実現可能か？
• RQ5 なぜ連続的θ-角に対しては満足できるラティス実装が存在しないのか？また、インスタントン数はこの障害にどのように関与するか？

主な発見

• ラティスTQFTにおける許容されるθ-角は、磁気ゲージ群 Π₂ 上の二次関数によって分類され、位相的作用は離散的2形式場 h のポントリャーギン平方で与えられる。
• Π₂ = Z_r で r が偶数の場合、離散的θ-角 q は 2r を法として整数となり、作用は Stop(h) = 2πiq/r (˜h ∪ ˜h)[T⁴] mod 2r で与えられる。偶数の交差形式のため、q mod r のみが物理的に意味を持つ。
• Π₂ = Z_r で r が奇数の場合、離散的θ-角 q は r を法として整数となり、作用は Stop(h) = 2πiq/r (˜h ∪ ˜h)[T⁴] で与えられる。ポントリャーギン平方は f ∪ f を用いて定義される。
• θ-角がゼロの場合、TQFTはゲージ群 Π₂* を持つ位相的ゲージ理論と双対であるが、非ゼロのθ-角では、4次元多様体の符号数に依存するため、任意の通常のゲージ理論とは同型でない。
• ラティス形式により、アハロニ、セイバーグ、タチカワが同定したすべての離散的θ-角を実現可能であるが、インスタントン数がラティス上で適切に定義されないため、連続的θ-角に対応するラティス実装は存在しない。
• θ-角が非ゼロの場合、分配関数の重みは正定値でないが、[h] のコホモロジー類を固定することで正の重みにできる。これにより、コホモロジー類の和をとるモンテカルロシミュレーションが可能になる。