[論文レビュー] Topological finiteness properties of monoids. Part 2: special monoids, one-relator monoids, amalgamated free products, and HNN extensions

Robert D. Gray, Benjamin Steinberg|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、同相的分類空間とバース＝セール理論を用いてモノイドの位相的有限性性質を確立し、特殊モノイドがその単位群からのF_nおよびFP_n性質を引き継ぐことを証明する。長年の未解決問題を解決し、rが真の累乗でない場合、一関係式モノイド⟨A∣r=1⟩はF_∞型であり、幾何的およびコhomological次元が2以下であることを示した。

ABSTRACT

We show how topological methods developed in a previous article can be applied to prove new results about topological and homological finiteness properties of monoids. A monoid presentation is called special if the right-hand side of each relation is equal to $1$. We prove results which relate the finiteness properties of a monoid defined by a special presentation with those of its group of units. Specifically we show that the monoid inherits the finiteness properties $F_n$ and $FP_n$ from its group of units. We also obtain results which relate the geometric and cohomological dimensions of such a monoid to those of its group of units. We apply these results to prove a Lyndon's Identity Theorem for one-relator monoids of the form $\langle A \mid r=1 angle$. In particular we show that all such monoids are of type $F_{\infty}$ (and $FP_{\infty}$), and that when $r$ is not a proper power, then the monoid has geometric and cohomological dimension at most $2$. The first of these results resolves an important case of a question of Kobayashi from 2000 on homological finiteness properties of one-relator monoids. We also show how our topological approach can be used to prove results about the closure properties of various homological and topological finiteness properties for amalgamated free products and HNN-extensions of monoids. To prove these results we introduce new methods for constructing equivariant classifying spaces for monoids, as well as developing a Bass-Serre theory for free constructions of monoids.

研究の動機と目的

• 群論からの手法を拡張して、モノイドの有限性性質を研究するための位相的枠組みを構築すること。
• Kobayashiが2000年に提起した一関係式モノイドのホモロジカル有限性に関する未解決問題を解き、それらがF_∞型であることを証明すること。
• 結合自由積やHNN拡張といった自由構成における、位相的およびホモロジカル有限性の閉包性質を確立すること。
• モノイドへの一般化されたバース＝セール理論を構築し、モノイド作用に対する等変分類空間を構成すること。
• 特殊モノイドの幾何的およびコホモロジカル次元が、その単位群のそれらとどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 群論におけるEilenberg–Mac Lane空間およびK(G,1)複体の手法を、モノイドへと適応する。
• 離散群作用と単体的複体上のモノイド作用を用いて、モノイドの等変分類空間を構成する。
• 自由構成をモデル化するための木と森を用いた、モノイド版のバース＝セール理論を導入する。
• 群およびモノイド環上の平坦性と射影性の条件を用いて、拡張の間で有限性性質を移す。
• アニク＝グローヴス＝シュヴァイツァーの定理およびホッフシャイルドコホモロジーより、書き換え系とFP_n性質の関係を確立する。
• モノイドの単位群の構造および部分モノイド作用に基づき、F_nまたはFP_n型であるための基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊モノイドは、その単位群からのF_nおよびFP_n性質を引き継ぐか？
• RQ2 一関係式モノイド⟨A∣r=1⟩はF_∞型であるか？ また、その幾何的およびコホモロジカル次元は何か？
• RQ3 結合自由積およびHNN拡張の理論は、類似する有限性性質を有するモノイドへと拡張可能か？
• RQ4 モノイド拡張が位相的またはホモロジカル有限性性質を保存するための条件は何か？
• RQ5 特殊モノイドの幾何的およびコホモロジカル次元は、その単位群のそれらとどのように関係するか？

主な発見

• 特殊モノイドは、その単位群からのF_nおよびFP_n性質を引き継ぎ、モノイドと群の有限性性質の強い関係を確立した。
• 一関係式モノイド⟨A∣r=1⟩はF_∞型（およびFP_∞型）であり、Kobayashiが2000年に提起した重要な未解決問題を解決した。
• 関係式rが真の累乗でない場合、このようなモノイドの幾何的およびコホモロジカル次元は2以下である。
• モノイドおよび部分モノイド作用に条件を満たす場合、モノイドの結合自由積はF_nおよびFP_n性質を保存する。
• 基本モノイドおよび部分モノイドが平坦性および有限性条件を満たす場合、モノイドのHNNに類似した拡張は、bi-FP_nおよびbi-F_n性質を保存する。
• 自由性の仮定の下で、HNN拡張の幾何的次元は、基本モノイドの幾何的次元と部分モノイドの幾何的次元に1を加えたものの最大値で上限づけられる。