[論文レビュー] Topological full groups of one-sided shifts of finite type

Hiroki Matui|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、カントール集合上の本質的に主な最小エタール群コホモロジー G に対して、位相的フル群 [[G]] 及びその交換子部分群 D([[G]]) が完全不変量であることを確立している。特に、有限型の片側シフトに対して、[[G]] は型 F∞（従って有限生成）であり、G が純粋に無限大またはほとんど有限であるとき D([[G]]) は単純である。これにより、Higman-Thompson 群を一般化する、新しい無限族の有限生成無限単純群が得られる。

ABSTRACT

We explore the topological full group [[G]] of an essentially principal etale groupoid G on a Cantor set. When G is minimal, we show that [[G]] (and its certain normal subgroup) is a complete invariant for the isomorphism class of the etale groupoid G. Furthermore, when G is either almost finite or purely infinite, the commutator subgroup D([[G]]) is shown to be simple. The etale groupoid G arising from a one-sided irreducible shift of finite type is a typical example of a purely infinite minimal groupoid. For such G, [[G]] is thought of as a generalization of the Higman-Thompson group. We prove that [[G]] is of type F_\infty, and so in particular it is finitely presented. This gives us a new infinite family of finitely presented infinite simple groups. Also, the abelianization of [[G]] is calculated and described in terms of the homology groups of G.

研究の動機と目的

• カントール集合上の本質的に主な最小エタール群コホモロジー G の同型類に対して、位相的フル群 [[G]] 及びその交換子部分群 D([[G]]) が完全不変量であることを確立すること。
• G がほとんど有限または純粋に無限大であるとき、D([[G]]) が単純であることを証明し、最小 Z-作用に対する既知の結果を拡張すること。
• 片側非可約有限型シフトから得られる群コホモロジーに対して、[[G]] の有限性性質を分析し、[[G]] が型 F∞ であることを示すこと。
• 群コホモロジーのホモロジー群 H₁(G) 及び H₀(G) を用いて、[[G]] のアーベル化を記述すること。
• 有限群や自由群の自由積の境界作用に対する [[G]] が、新しい無限族の有限生成無限単純群を生じることを示すこと。

提案手法

• 空間的実現定理を用いて、[[G₁]] 及び [[G₂]] の正規部分群（D([[G_i]]) を含む）間の任意の群同型が、G₁⁽⁰⁾ 及び G₂⁽⁰⁾ の単位空間間のホメオモーティズムから生じることを示すこと。
• アーベル化を研究し、純粋に無限大群コホモロジーに対してその全射性を証明するために、インデックス写像 I: [[G]] → H₁(G) を適用すること。
• C*-代数理論および位相的力学の技術を適応し、特に有限型シフトに関連する Cuntz-Krieger 代数の構造を活用すること。
• 自由積 P*Q や自由群 Fₖ の境界作用から得られる群コホモロジーのためのホモロジー群 H₀(G) 及び H₁(G) を計算し、[[G]] 及びその商の構造を特定すること。
• F∞ 群の理論およびホモトピー的有限性性質の理論を用いて、有限型シフトに対して [[G]] が型 F∞ であることを証明すること。
• シフトの力学および群コホモロジー構造から導かれる生成元と関係式を用いて、[[G]] 及びその部分群の表示を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本質的に主な最小エタール群コホモロジー G に対して、位相的フル群 [[G]] 及びその交換子部分群 D([[G]]) は、同型類の完全不変量として機能するか？
• RQ2 G に対してどのような条件下で、交換子部分群 D([[G]]) は単純になるか？
• RQ3 片側シフトの有限型から得られる群コホモロジーに対して、[[G]] の有限性性質は何か？
• RQ4 [[G]] のアーベル化は、群コホモロジーのホモロジー群 H₁(G) 及び H₀(G) とどのように関係するか？
• RQ5 自由積 P*Q や自由群 Fₖ の境界作用に対する [[G]] は、新しい無限族の有限生成無限単純群を生じるか？

主な発見

• 任意の本質的に主な最小エタール群コホモロジー G に対して、位相的フル群 [[G]] 及びその交換子部分群 D([[G]]) は完全不変量である：[[G₁]] ≅ [[G₂]] であるための必要十分条件は、G₁ ≅ G₂ がエタール群コホモロジーとして同型であることである。
• G が純粋に無限大で最小であるとき、交換子部分群 D([[G]]) は単純であり、[[G]] は自由積 ℤ₂ * ℤ₃ を含むため、非可約性を示す。
• 任意の片側非可約有限型シフトに対して、位相的フル群 [[G]] は型 F∞ である。従って有限生成であり、Higman-Thompson 群 Vₙ,₁ を一般化する。
• [[G]] のアーベル化は H₁(G) に同型であり、純粋に無限大群コホモロジーに対してインデックス写像 I: [[G]] → H₁(G) は全射である。
• |P|=p、|Q|=q の自由積 P*Q の境界作用に対して、H₀(G) ≅ ℤₙ₋₁ および H₁(G) ≅ 0 であり、ここで n = (p−1)(q−1) である。また、[[G]] は Gₙ,ₚ または Gₙ,ₚ に同型である。
• 自由群 Fₖ の境界作用に対して、[[G]] は型 F∞ であり、D([[G]]) は単純である。[[G]]/[[G]]₀ ≅ ℤᵏ であり、k が偶数のとき [[G]]₀/D([[G]]) ≅ (ℤ₂)ᵏ、k が奇数のとき (ℤ₂)ᵏ⁺¹ である。