[論文レビュー] Topological fundamental groups can distinguish spaces with isomorphic homotopy groups

Paul Fabel|ArXiv.org|Feb 18, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー群にわたる同型を誘導する包含写像 $j: X \to Y$ を持つ、パス接続的で、アスphericalで、可分な距離空間 $X$ と $Y$ を構成する。しかし、位相的基点付き基本群 $\pi_1(X,p)$ と $\pi_1(Y,p)$ は互いに位相的に同相ではない。主な貢献は、代数的不変量（ホモトピー群）が失敗する場合でも、基本群の位相構造がホモトピー型を区別できることを示したことである。これにより、非CW空間におけるホワイトヘッドの定理の失敗を克服する。

ABSTRACT

We exhibit a map f between aspherical spaces X and Y such that f induces an isomorphism on homotopy groups but, with natural topologies, X and Y fail to have homeomorphic fundamental groups. Thus the topological fundamental group has the capacity to distinguish homotopy type when the Whitehead theorem fails.

研究の動機と目的

• 代数的不変量（ホモトピー群など）が失敗する状況において、基本群の位相的構造がホモトピー型の差を検出できるかどうかを調査すること。
• 包含写像 $j^*: \pi_1(X,p) \to \pi_1(Y,p)$ が同型であるが、$\pi_1(X,p)$ と $\pi_1(Y,p)$ が位相的に同相でない、パス接続的で、アスphericalで、可分な距離空間 $X$ と $Y$ を明示的に構成すること。
• 局所的に単純連結性を満たす空間が、基本群の位相的構造を離散的とすることを仮定するのを挑戦すること。
• 非標準的空間において、代数的基点付き基本群よりも、位相的基点付き基本群がホモトピー型を検出する上で強い不変量であることを示すこと。

提案手法

• 空間 $X$ を、$\mathbb{R}^2$ 内の互いに交わらない単純閉曲線 $C_n$（$n \geq 2$）の可算和として構成する。これらはすべて共通の基点 $p = (0,0)$ で接続され、ループのバケツを形成する。
• 空間 $Y$ を、$X$ の $\mathbb{R}^2$ における閉包として定義する。具体的には、線分 $\alpha = [(0,0),(0,1)]$ を付加し、$C_n$ がハウスドルフ距離において $\alpha$ に収束するようにする。
• 空間 $X$ と $Y$ が1次元的かつパス接続的であることから、両者はアスphericalであると結論づけ、$n \geq 2$ に対して $\pi_n(X,p) = \pi_n(Y,p) = 1$ が成り立つ。これによりホワイトヘッドの定理の仮定を満たす。
• ホモトピーの持ち上げと $Y$ から $X$ への変形リトラクションを用いて、$j^*: \pi_1(X,p) \to \pi_1(Y,p)$ が単射かつ全射であることを示し、同型であると証明する。
• $X$ が局所的可縮性を満たすため、$\pi_1(X,p)$ は離散的であると示す。一方、$Y$ では定値ループが非自明なループの列の極限となっているため、$\pi_1(Y,p)$ は離散的でない。
• $\pi_1(Y,p)$ に商位相を導入し、単位元のパス成分が開集合でないことを示す。これにより、$\pi_1(Y,p)$ は離散位相を備えていないことが証明され、$\pi_1(X,p)$ とは位相的に同相でないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホワイトヘッドの定理が失敗する状況において、ホモトピー群が同型である空間を区別するために、基本群の位相的構造は機能するか？
• RQ2 非CW空間において、位相的基点付き基本群は、代数的基点付き基本群よりもホモトピー型を検出する上で強い不変量であるか？
• RQ3 局所的に単純連結性を満たすことは、位相的基点付き基本群の離散性を意味するか？
• RQ4 非離散的な位相的基点付き基本群を備えた空間であっても、依然として局所的に単純連結であることは可能か？

主な発見

• 包含写像 $j: X \to Y$ はすべてのホモトピー群にわたって同型を誘導し、ホワイトヘッドの定理の仮定を満たす。
• 空間 $X$ が局所的可縮性を満たすため、位相的基点付き基本群 $\pi_1(X,p)$ は離散的である。
• 定値ループが $C_p(Y)$ 内で非自明なループの一様極限となっているため、位相的基点付き基本群 $\pi_1(Y,p)$ は離散的でない。
• $\pi_1(Y,p)$ の単位元のパス成分は開集合でないため、$\pi_1(Y,p)$ は離散位相を備えていない。
• $\pi_1(X,p)$ は離散的であり、$\pi_1(Y,p)$ は離散的でないため、2つの位相群は位相的に同相ではない。
• したがって、$X$ と $Y$ はホモトピー同値ではないが、ホモトピー群が同型である。これは、位相的基点付き基本群がホモトピー不変量としての強力さを示している。