[論文レビュー] Topological groups of Kac-Moody type, Fuchsian twinnings and their lattices

Bertrand Rémy, Mark Ronan|arXiv (Cornell University)|May 4, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、右角度付き双曲的多角形アパートメントを備えたFuchsian二重ビルディングを用いて、Kac-Moody型の非線形位相的群を構成し、その群が特徴値0の線形格子と、正の特徴値pでのみ線形化可能な非一様格子を両方有することを示している。主な貢献は、Kac-Moody群から生じないMoufang二重ビルディングの存在であり、これは異方的格子をもたらし、局所体上の単純群との類似性に挑戦する。

ABSTRACT

This paper deals with a class of totally disconnected groups acting on buildings, among which are certain Kac-Moody groups. The apartments of our buildings are hyperbolic planes tiled by right-angled polygons. We discuss linearity properties for the groups, as well as an analogy with semisimple groups over local fields of positive characteristic. Looking for counter-examples to this analogy leads to the construction of Moufang twinnings "with several ground fields".

研究の動機と目的

• 特徴値が正の局所体上の単純群と、位相的Kac-Moody群の類似性を調査すること。
• Kac-Moody群から生じない二重ルートデータを構成し、非2球面的で異方的な二重ビルディングを導くこと。
• これらのビルディングにおける一様格子が特徴値0で線形であり、非一様格子が正の特徴値pでのみ線形化可能であることを示すこと。
• このような群が、ほとんどすべてがp-冪的コンパクト部分群を有し、混合線形性の振る舞いを示すことの確立。

提案手法

• 双曲平面上の右角度付きr角形（r ≥ 5）でタイル張りされたアパートメントを有するFuchsian二重ビルディングを構成し、Bourdonの分類に従ってFuchsianビルディングを実現すること。
• 正則r角形Rによってインデックス付けられた有限群の帰納的系（包あらゆる部分群）を用い、基本群Γr,1+qを格子として定義すること。
• 複体の群の基本群に関するTitsの定理を適用し、Γr,1+qが部屋に対して単純推移的に作用することを示し、一様性を証明すること。
• PGL2(Fq)および(Fq×)^rの部分群を用いて、帰納的系の準同型を用い、基本群Γr,1+qをKac-Moody群Λの像に埋め込むこと。
• Bourdonの結果を適用し、sin(π/r) < 1/√(q+1) の条件下で、Γr,1+qを実双曲空間H2qにおける凸コンパクトな離散等距変換群として埋め込むこと。
• 包あらゆる部分群のLevi因子の構造と中心Z(Λ) ≅ (Fq×)^rを分析し、作用準同型φによるΛの像を決定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的Kac-Moody群は、正の特徴値を持つ局所体上の単純群とどの程度類似しているか。
• RQ2 特に非2球面的設定において、Kac-Moody群から生じないMoufang二重ビルディングを構成できるか。
• RQ3 このような異方的群は、特徴値0で線形で、正の特徴値pでのみ線形化可能な格子を有するか。
• RQ4 rとqがどのような条件下で、基本群Γr,1+qが実双曲空間H2qにおける凸コンパクト部分群として埋め込まれるか。
• RQ5 位相的Kac-Moody群の最大コンパクト部分群は、p-冪的構造に関してどのように振る舞うか。

主な発見

• 群Γr,1+qは、右角度付きFuchsianビルディングIr,1+qにおける一様格子であり、部屋に対して単純推移的に作用する。
• rが偶数であり、かつsin(π/r) < 1/√(q+1)を満たすとき、Γr,1+qは実双曲空間H2qにおける凸コンパクトな離散等距変換群として埋め込まれる。
• Λから導かれる位相的Kac-Moody群Gは、頂点固定子としてのビルディング内での性質により、ほとんどすべてがp-冪的コンパクト部分群を有する。
• Γr,1+qは、正則r角形によってインデックス付けられた群の複体の基本群として同型であり、辺群と頂点群はそれぞれZ/(q+1)およびZ/(q+1)×Z/(q+1)である。
• φ(Λ)は、PGL2(Fq) × (Fq×)^r−1および(PGL2(Fq) × PGL2(Fq)) × (Fq×)^r−2に同型な部分群を含み、Levi因子構造を反映している。
• 帰納的系の準同型を用いてΓr,1+qをφ(Λ)に埋め込むことができ、これによりΓr,1+qが位相的Kac-Moody群Gの部分群であることが確認された。