[論文レビュー] Topological interactions in broken gauge theories

Mark de Wild Propitius|ArXiv.org|Nov 27, 1995

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 113

ひとこと要約

本稿は、代数的トポロジー、特に群コホモロジーとスペクトル系列を用いて、破れたゲージ理論における位相的相互作用を調査し、離散ゲージ理論における任意子統計および位相的秩序を分類する。有限部分群 H ⊂ SU(2) に対して、コホモロジー群 H^3(H) が消え、H^4(H) ≅ ℤ_|H| であることを示し、群の位数に関連する位相的不変量の存在を証明し、2+1次元系における任意子のバーニングおよびフラックスの変形の分類を可能にする。

ABSTRACT

This thesis deals with planar gauge theories in which some gauge group G is spontaneously broken to a finite subgroup H. The spectrum consists of magnetic vortices, global H charges and dyonic combinations exhibiting topological Aharonov-Bohm interactions. Among other things, we review the Hopf algebra D(H) related to this residual discrete H gauge theory, which provides an unified description of the spin, braid and fusion properties of the aforementioned particles. The implications of adding a Chern-Simons (CS) term to these models are also addressed. We recall that the CS actions for a compact gauge group G are classified by the cohomology group H^4(BG,Z). For finite groups H this classification boils down to the cohomology group H^3(H,U(1)). Thus the different CS actions for a finite group H are given by the inequivalent 3-cocycles of H. It is argued that adding a CS action for the broken gauge group G leads to additional topological interactions for the vortices governed by a 3-cocycle for the residual finite gauge group H determined by a natural homomorphism from H^4(BG,Z) to H^3(H,U(1)). Accordingly, the related Hopf algebra D(H) is deformed into a quasi-Hopf algebra. These general considerations are illustrated by CS theories in which the direct product of some U(1) gauge groups is broken to a finite subgroup H. It turns out that not all conceivable 3-cocycles for finite abelian gauge groups H can be obtained in this way. Those that are not reached are the most interesting. A Z_2 x Z_2 x Z_2 CS theory given by such a 3-cocycle, for instance, is dual to an ordinary gauge theory with nonabelian gauge group the dihedral group of order eight. Finally, the CS theories with nonabelian finite gauge group a dihedral or double dihedral group are also discussed in full detail.

研究の動機と目的

• 自発的対称性の破れを伴う離散ゲージ理論における位相的秩序および任意子統計を理解すること。
• 非アーベルな離散ゲージ理論における安定な磁気フォノンおよびそのバーニング性質を分類すること。
• スペクトル系列を用いて有限群 H ⊂ SU(2) のコホモロジーを導出し、それらがチェーン＝シモンズ理論における物理的意味を確立すること。
• ゲージ理論における位相的不変量を量子ダブルおよびねじれゲージ理論の構造と結びつけること。
• 対称性の破れを伴う位相的場理論におけるフラックス変形および非アーベル的バーニング統計の役割を明確にすること。

提案手法

• 有限部分群 H ⊂ SU(2) に対して、Lerayのスペクトル系列を用いて群コホモロジー H^n(BH) ≅ H^n(H) を計算する。
• E_2^{p,q} ≅ H^p(BSU(2), H^q(SU(2)/H)) であるスペクトル系列 {E_r, d_r} を用い、H^n(BH) に収束する。
• H^*(BSU(2)) ≅ ℤ[e] で、e は次数4であるという既知のコホモロジーを用いて、非ゼロ項を制限する。
• 射影 π: SU(2) → SU(2)/H が、H^3(SU(2)/H) → H^3(SU(2)) ≅ ℤ を誘導するが、これは |H| による乗法に等しい。
• d_4: H^3(SU(2)/H) → H^4(BSU(2)) ≅ ℤ の核として H^3(H) を、余核として H^4(H) を計算する。
• 被覆写像 π の次数を用いて、H^3(H) ≅ 0 および H^4(H) ≅ ℤ_|H| を確立し、群の位数と位相的不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限部分群 H ⊂ SU(2) に対して、コホモロジー H^n(H) の構造は何か？ そして、位相的場理論とどのように関係するか？
• RQ2 スペクトル系列が離散ゲージ理論の文脈で H^3(H) および H^4(H) の計算をどのように可能にするか？
• RQ3 H^4(H) ≅ ℤ_|H| の物理的意味は何か？ これは位相的秩序および任意子統計の分類にどのように関与するか？
• RQ4 射影 π: SU(2) → SU(2)/H がコホモロジーに誘導する準同型は何か？ その核および余核は何か？
• RQ5 H^4(BSU(2)) に属する普遍的オイラー類 e は、H の位相的不変量を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の有限部分群 H ⊂ SU(2) に対して H^3(H) ≅ 0 であり、これは群コホモロジーに非自明な3-コサイクルが存在しないことを示している。
• H^4(H) ≅ ℤ_|H| であり、これは4番目のコホモロジー群が H の位数 |H| に同型な巡回群に同型であることを示しており、有限部分群の位数に依存する。
• スペクトル系列は E_5 で安定し、p が4の倍数で q = 0,3 のとき E_∞^{p,q} ≅ E_5^{p,q} となるため、最終的なコホモロジー群が得られる。
• 写像 d_4: H^3(SU(2)/H) → H^4(BSU(2)) は |H| による乗法に同型であり、これにより余核が ℤ_|H| となる。
• H^3(SU(2)/H) ≅ ℤ は基本類によって生成され、H^3(SU(2)) ≅ ℤ への誘導写像は |H| による乗法に等しい。
• この結果により、離散ゲージ理論の位相的不変量が、SU(2) の有限部分群 H ⊂ SU(2) の位数に直接関係していることが確認される。