[論文レビュー] Topological Invariant for Bosonic Bogoliubov-de Gennes Systems with Disorder

Yutaka Akagi|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 95被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ボソン統計に起因する内在的な非エルミート性を有する不規則なボソン的ボゴリューボフ＝デヘンス系（Bogoliubov-de Gennes系）に対する非可換幾何学に基づく位相的不変量を提案する。この手法は、射影差分作用素 A を通じて位相的インデックスを定義し、不規則性に対して頑健であり、クリーンな極限ではチェーン数と完全に一致する。磁気フォノンホール状態では nCh = 1、自明な局在化状態では nCh = 0 となる。

ABSTRACT

Using the method of noncommutative geometry, we define a topological invariant in disordered bosonic Bogoliubov-de Gennes systems, which possess a unique mathematical property---non-Hermiticity. To demonstrate the validity of the definition, we investigate a disordered artificial spin ice model in two dimensions numerically. In the clean limit, we clarify that the topological index perfectly coincides with the Chern number. We also show that the topological index is robust against disorder. The formula provides the topological index $n_{ m Ch}=1$ in the magnon Hall regime and $n_{ m Ch}=0$ in a trivial localized one. We also show by example that our method can be extended to other symmetry classes. Our results pave the way for further studies on topological bosonic systems with disorder.

研究の動機と目的

• ボソン統計に起因する内在的な非エルミート性を有する不規則なボソン的ボゴリューボフ＝デヘンス系に対する数学的に厳密な位相的不変量を定義すること。
• 磁気フォノンホール系において、位相的インデックスが不規則性に対して頑健であることを示すこと。
• 不規則なトポロジカルボソン系における位相的不変量を数値的に効率的に計算する手法を確立すること。
• 非可換インデックス理論の適用範囲をフェルミオンモデルを超えてボソン系へ拡張すること。
• 不規則な人工スピンアイスモデルを用いて手法を検証し、クリーン極限において従来のチェーン数と一致することを示すこと。

提案手法

• 非可換幾何学を用いて、作用素 A = PB − D̃†aPB D̃a を通じて位相的不変量を定義する。ここで PB はフェルミ射影、D̃a はディラック作用素である。
• 位相的インデックスを nCh = dim ker[A−1] − dim ker[A+1] として定義し、有効ハミルトニアン ΣzHBdG の非エルミート構造を活用する。
• 最近接および第二近隣距離の双極子結合を有する2次元人工スピンアイスモデルに手法を適用し、ランダムな J′ パラメータを用いて不規則性を導入する。
• フェルミ射影 PB = 1/(2πi) ∫C (z−ΣzHBdG)⁻¹ dz を、架空のフェルミエネルギー EB より下にある固有値を囲む閉曲線 C を用いて定義する。
• ΣzHBdG のパラユニタリ対角化を用いて固有値と固有状態を計算し、Σz を通じてボソンの対可換関係を保存する。
• 例示的な応用を通じて、この手法が他の対称性クラスへも拡張可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則なボソン的ボゴリューボフ＝デヘンス系に、内在的な非エルミート性を有する場合に、数学的に厳密な位相的不変量を定義できるか？
• RQ2 提案された位相的インデックスは、位相的保護が期待されるように、不規則性に対しても頑健であるか？
• RQ3 磁気フォノンホール系のクリーン極限において、計算されたインデックスは従来のチェーン数とどのように一致するか？
• RQ4 非可換幾何学的手法は、本研究で扱ったもの以外の対称性クラスへ一般化可能か？
• RQ5 磁気フォノンホール効果を示す不規則な人工スピンアイスモデルにおいて、位相的インデックスの数値的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 磁気フォノンホール状態では位相的インデックス nCh = 1、自明な局在化状態では nCh = 0 となり、トポロジカル状態を正しく同定する。
• クリーン極限において、非可換位相的インデックスは従来のチェーン数と完全に一致し、一貫性が確認された。
• 位相的インデックスは不規則性に対して頑健であり、強い不規則性が存在しても nCh = 1 が維持される。
• この手法は数値的に効率的であり、不規則なボソン系における位相的不変量を直接計算する手段を提供する。
• 作用素 A は AB + BA = 0 および A² + B² = 1 を満たすスレーター的構造を有し、スペクトルの対称性とインデックスの安定性を保証する。
• 本手法は、論文に示された例示的応用を通じて、他の対称性クラスへも拡張可能であることが示された。