[論文レビュー] Topological K-theory and its Chern character for non-commutative spaces

Anthony Blanc|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、代数的K理論の位相的実現の後にボット逆元を適用することで、複素数体上のdgカテゴリに対して位相的K理論を導入し、代数的K理論から周期的ホモロジーへのチーン類写像がこの不変量へと降下することを証明する。この理論により、単位dgカテゴリの位相的K理論がBUに同型であることが示され、有限次元代数に対してラティス予想が正当化され、周期的ホモロジーが射影的加群のスタックを用いて記述される公式が得られる。

ABSTRACT

The purpose of this work is to give a definition of a topological K-theory for dg-categories over C and to prove that the Chern character map from algebraic K-theory to periodic cyclic homology descends naturally to this new invariant. This topological Chern map provides a natural candidate for the existence of a rational structure on the periodic cylic homology of a smooth proper dg-algebra, within the theory of noncommutative Hodge structures. The definition of topological K-theory consists in two steps : taking the topological realization of algebraic K-theory, and inverting the Bott element. The topological realization is the left Kan extension of the functor space of complex points to all simplicial presheaves over complex algebraic varieties. Our first main result states that the topological K-theory of the unit dg-category is the spectrum BU. For this we are led to prove a homotopical generalization of Deligne's cohomological proper descent, using Lurie's proper descent. The fact that the Chern character descends to topological K-theory is established by using Kassel's Kunneth formula for periodic cyclic homology and once again the proper descent result. In the case of a dg-category of perfect complexes on a smooth scheme, we show that we recover the usual topological K-theory. Finally in the case of a finite dimensional associative algebra, we show that the lattice conjecture holds. This gives a formula for the periodic homology groups of a finite dimensional algebra in terms of the stack of projective modules of finite type.

研究の動機と目的

• 位相的実現とボット逆元を用いて、複素数体上のdgカテゴリに対して位相的K理論を定義すること。
• 代数的K理論から周期的ホモロジーへのチーン類写像が、この新しい位相的K理論へ自然に降下することを確立すること。
• 非可換ホッジ理論の文脈で、周期的ホモロジーに有理数構造を与えること。
• 滑らかな代数的空間上の完全複体のdgカテゴリに対して、古典的位相的K理論を回復すること。
• 有限次元結合的代数に対してラティス予想を検証すること。

提案手法

• 複素代数的多様体をその複素数点の空間へ写す関手の左カルン拡張として、位相的実現を適用すること。
• 得られたスペクトルにおけるボット元を逆元化することで、位相的K理論を定義すること。
• ルリの適切な降下を用いて、ホモトピー的設定下でのデリーニのコhomological proper descentを一般化すること。
• 周期的ホモロジーに対するカッセルのクネンプの公式を用いて、チーン類写像の降下を分析すること。
• 降下と実現の技術を活用し、幾何的状況における位相的K理論と古典的不変量を比較すること。
• スタック論的技法を用いて、有限次元代数に対して周期的ホモロジーを射影的加群のスタックを用いて表現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的K理論を精製し、周期的ホモロジーへのチーン類写像を許容する、複素数体上のdgカテゴリに対する位相的K理論を定義できるか？
• RQ2 代数的K理論から周期的ホモロジーへのチーン類写像が、この新しい位相的K理論を自然に通るか？
• RQ3 単位dgカテゴリの位相的K理論はスペクトルBUと同型か？
• RQ4 この構成は、滑らかな代数的空間上の完全複体のdgカテゴリに対して、古典的位相的K理論を回復するか？
• RQ5 有限次元結合的代数に対してラティス予想は成り立つか？また、周期的ホモロジーは射影的加群のスタックを用いて表現可能か？

主な発見

• 単位dgカテゴリの位相的K理論はスペクトルBUと同型であり、基礎的な事例が確認された。
• 代数的K理論から周期的ホモロジーへのチーン類写像が、新しい位相的K理論へ自然に降下する。
• 滑らかな代数的空間上の完全複体のdgカテゴリに対して、この構成は古典的位相的K理論を回復する。
• 有限次元結合的代数に対してラティス予想が成立し、周期的ホモロジーが射影的加群のスタックを用いて記述される公式が得られた。
• ルリのフレームワークを用いて、デリーニのコhomological proper descentのホモトピー的一般化が確立された。
• 周期的ホモロジーに対するカッセルのクネンプの公式は、チーン類写像の降下を証明する上で中心的な役割を果たした。