[論文レビュー] Topological Landau Lattice

Y. X. Zhao, Yong‐Heng Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、磁場下におけるd次元のトポロジカルフェルミオンのランダウ準位を、(d−1)次元の格子模型に写像する「位相的ランダウ格子」を導入する。ゼロエネルギーのランダウ準位が、格子の境界状態から位相的保護を引き継ぐことを示し、実空間における位相的不変量を用いたトポロジカル不変量のロバストな検出が可能になる。2次元ディラックフェルミオンおよび3次元ワイルフェルミオンに対して実証された。

ABSTRACT

The concept of topological fermions, including Weyl and Dirac fermions, stems from the quantum Hall state induced by a magnetic field, but the definitions and classifications of topological fermions are formulated without using magnetic field. It is unclear whether and how the topological information of topological fermions can be probed once their eigen spectrum is completely rebuilt by a strong magnetic field. In this work, we provide an answer via mapping Landau levels (bands) of topological fermions in $d$ dimensions to the spectrum of a $(d-1)$-dimensional lattice model. The resultant "Landau lattice" may correspond to a topological insulator, and its topological property can be determined by real-space topological invariants. Accordingly, each zero-energy Landau level (band) inherits the topological stability from the corresponding topological boundary state of the Landau lattice. The theory is demonstrated in detail by transforming 2D Dirac fermions under magnetic fields to the Su-Schrieffer-Heeger models in class AIII, and 3D Weyl fermions to the Chern insulators in class A.

研究の動機と目的

• トポロジカルフェルミオンのランダウ準位と、次元が1つ低い格子模型との間の対応関係を確立すること。
• ゼロエネルギーのランダウ準位が、ランダウ格子内のバルク位相的不変量によって位相的に保護されることを示すこと。
• 並進対称性に依存しない、隠れた位相的秩序をランダウ準位で探査するための実空間における位相的不変量フレームワークを提供すること。
• 低ランダウ準位の位相的安定性が、高インデックスのギャップを持つバルク状態に起因することを示すこと。

提案手法

• ランダウ準位の量子化を用いて、磁場中におけるd次元のトポロジカルフェルミオンを、(d−1)次元のランダウ格子に写像する。
• 生成・消滅演算子と非一様な格子サイトを用いて、ランダウ格子のハミルトニアンを構築し、位相的構造を保存する。
• 実空間における位相的不変量（例：キタエフのインデックス、プロダン＝シュルツ＝バルドスの不変量）を用いて、格子のバルク位相的トポロジーを特徴付ける。
• ランダウ格子のキラル境界モードが、元の系におけるゼロエネルギーのランダウ準位に対応することを示す。
• 拡張された格子モデルに対して運動量空間におけるチェーン数の計算を適用し、位相的分類を確認する。
• 連続的変形を用いて、格子モデルにおいて並進対称性を回復させ、3次元ワイルフェルミオンに対して標準的な位相的分類（例：チェーン数）を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁場によってスペクトルが完全に再構成された場合、トポロジカルフェルミオンのランダウ準位の位相的性質をどのように探査できるか？
• RQ2 並進対称性が欠如する状況下で、ランダウ準位の位相的不変量をどのように定義・計算できるか？
• RQ3 強いギャップを持つ系において、ゼロエネルギーのランダウ準位の位相的保護の起源は何か？
• RQ4 トポロジカルフェルミオンから導かれるランダウ格子において、バルク-境界対応はどのように現れるか？
• RQ5 2次元ディラックフェルミオンおよび3次元ワイルフェルミオンのランダウバンドの位相的性質は、次元が1つ低い格子模型によって捉えられるか？

主な発見

• 2次元ディラックフェルミオンにおけるゼロエネルギーのランダウ準位は位相的に保護されており、クラスAIIIの1次元スー＝シュリーファー＝ハイガー格子の境界モードに対応する。
• 3次元ワイルフェルミオンのランダウ格子は、単位チェーン数を持つクラスAのチェーンインスレーターに写像され、kzでパラメータ化されたキラル境界バンドに対応する。
• 低ランダウ準位の位相的保護は、ランダウ格子内の高インデックスギャップ状態のバルク位相的不変量に起因する。
• ランダウ格子モデルを用いることで、並進対称性がなくても実空間的手法による位相的不変量の計算が可能になる。
• 3次元ワイル系におけるキラルランダウバンドは、弱い不純物や摂動に対してロバストであり、その位相的性質を保つ。
• 複数のワイル点を有するワイルセミメタラーでは、ランダウバンドはギャップなしモードをkzでパラメータ化したトモナガ＝ラッティンガー液体に類似した構造を形成し、元のフェルミオンのトポロジーを反映する。