[論文レビュー] Topological Levinson's theorem for inverse square potentials: complex, infinite, but not exceptional

Hideki Inoue, Serge Richard|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、半直線上の逆2乗ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素に対して、レヴィンソンの定理の位相的版を確立する。従来の結果を複素固有値および無限個の固有値を含む場合にまで拡張する。スペクトル的および散乱理論の完全な解析を提供し、スペクトル特異点を有する例外的な場合ですら、波動作用素のフレドホルム指数が正しく定義され、境界状態の数を数える位相的不変量をもたらすことを示している。

ABSTRACT

In this review paper we carry on our investigations on Schroedinger operators with inverse square potentials on the half-line. Depending on several parameters, such operators possess either a finite number of complex eigenvalues, or an infinite one, but also some spectral singularities embedded in the continuous spectrum (exceptional situations). The spectral and the scattering theory for these operators is recalled, and new results for the exceptional cases are provided. Some index theorems in scattering theory are also developed, and explanations why these results can not be extended to the exceptional cases are provided.

研究の動機と目的

• 逆2乗ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル的および散乱理論を、従来除外されていたスペクトル特異点を有する例外的ケースを含めて完全に確立すること。
• 従来の研究で部分的にしか取り扱われていない複素固有値および無限個の固有値を有する系へ、位相的レヴィンソンの定理を拡張すること。
• 波動作用素のフレドホルム性が破綻する、あるいは有界でない例外的ケースにおいて、そのフレドホルム性を分析し、インデックスに基づくアプローチの限界を特定すること。
• 有限または無限個の固有値、スペクトル特異点、およびそれらの収束性を示すパラメータの包括的分類を提供すること。

提案手法

• 散乱系の波動作用素を定義するため、一般化されたハンケル変換 $\mathscr{F}_{m,\kappa}^{\mp}$ および $\mathscr{F}_{0}^{\nu\mp}$ を構築する。
• 極限吸収原理を用いてスペクトル的性質を分析し、特に実軸の片側でのみ原理が成り立つ例外的ケースに注目する。
• トレース公式およびスペクトルシフト関数の技法を用いて、トレースクラスの摂動およびフーリエ級数展開を用いて波動作用素のフレドホルム指数を計算する。
• 周期性および関数解析的計算を活用し、$L^2(\mathbb{R})$ 上の乗法作用素およびシフト作用素の観点から波動作用素を表現する。
• フーリエ係数および漸近的挙動を用いて、交換子 $\mathcal{W}_{in,\kappa}^{-}\mathcal{W}_{in,\kappa}^{+\#} - \mathcal{W}_{in,\kappa}^{+\#}\mathcal{W}_{in,\kappa}^{-}$ のトレースを計算する。
• パラメータ $\frac{1}{n}\ln(|\kappa|) \in (-\pi, \pi)$ のとき、インデックス $-\operatorname{Tr}_n(\mathcal{I}_{\rm p}(H_{in,\kappa})) = -1$ を得る。そうでない場合は 0 であり、境界状態の位相的数え上げが確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限個の複素固有値を有する系へ、位相的レヴィンソンの定理の拡張が可能か？
• RQ2 連続スペクトル内に存在するスペクトル特異点が、散乱理論における波動作用素のフレドホルム性にどのように影響するか？
• RQ3 スペクトル特異点が存在する例外的ケースにおいて、極限吸収原理の挙動はいかなるものか？
• RQ4 波動作用素が有界でなくなったり、フレドホルムでなくなったりする条件は何か？ その影響はインデックス計算にどのように現れるか？
• RQ5 固有値が複素数または無限個であっても、波動作用素のフレドホルム指数が境界状態の数を数える位相的不変量として依然として成立するか？

主な発見

• 波動作用素のフレドホルム指数は、$\frac{1}{n}\ln(|\kappa|) \in (-\pi, \pi)$ のとき $-1$ であり、これは1つの境界状態に対応する。それ以外の場合は $0$ であり、境界状態の位相的数え上げが確認された。
• 例外的パラメータでは、波動作用素が有界でなかったり、フレドホルムでなかったりするため、標準的なインデックス計算は不可能である。
• 特定のパラメータ値では、連続スペクトル内にスペクトル特異点が存在し、極限吸収原理は、複素固有値の集積が生じない実軸の片側でのみ成り立つ。
• 例外的ケースでさえも、スペクトル特異点に収束する複素固有値を有する非例外的作用素を構成可能であり、スペクトルの不安定性を示している。
• 0 および $+\infty$ の両方に収束する2つ以上のスペクトル特異点を有する作用素が存在し、従来の知られていたものよりも豊かなスペクトル構造を示している。
• 交換子 $\mathcal{W}_{in,\kappa}^{-}\mathcal{W}_{in,\kappa}^{+\#} - \mathcal{W}_{in,\kappa}^{+\#}\mathcal{W}_{in,\kappa}^{-}$ のトレース計算により、$-\varsigma c_{-1}(\mathrm{e}^{\pi n} - \mathrm{e}^{-\pi n})$ を得る。ここで $c_{-1} = \varsigma^{-1}/(\mathrm{e}^{\pi n} - \mathrm{e}^{-\pi n})$ であり、最終的なインデックス結果が得られる。