[論文レビュー] Topological modular forms and the absence of all heterotic global anomalies

Yuji Tachikawa, Mayuko Yamashita|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、セガール＝ストルツ＝タイヒナー予想とTMF^21(pt) = 0の消滅を活用して、トポロジカルなモジュラー形式（TMF）からストリング分類のアンドリューズ双対への自然変換が消えることを証明することで、すべてのヘテロティック弦理論におけるグローバル異常は存在しないことを確立している。この結果は、高度な分類とコホモロジー理論を用いてヘテロティック弦理論の整合性が保たれることを裏付けている。

ABSTRACT

We reformulate the question of the absence of global anomalies of heterotic string theory mathematically in terms of a certain natural transformation $\mathrm{TMF}^\bullet o (I_{\mathbb{Z}}Ω^ ext{string})^{\bullet-20}$, from topological modular forms to the Anderson dual of string bordism groups, using the Segal-Stolz-Teichner conjecture. We will show that this natural transformation vanishes, implying that heterotic global anomalies are always absent. The fact that $\mathrm{TMF}^{21}(\mathrm{pt})=0$ plays an important role in the process. Along the way, we also discuss how the twists of $\mathrm{TMF}$ can be described under the Segal-Stolz-Teichner conjecture, by using the result of Freed and Hopkins concerning anomalies of quantum field theories. The paper contains separate introductions for mathematicians and for string theorists, in the hope of making the content more accessible to a larger audience. The sections are also demarcated cleanly into mathematically rigorous parts and those which are not.

研究の動機と目的

• トポロジカルなモジュラー形式（TMF）とセガール＝ストルツ＝タイヒナー予想を用いて、ヘテロティック弦理論におけるグローバル異常の不在を数学的に再定式化すること。
• TMF^• からストリング分類群のアンドリューズ双対 (I_Z Ω^string)^•−20 への自然変換を、異常分類子として確立すること。
• この変換が消えることを示し、ヘテロティック弦理論におけるすべてのグローバル異常がないことを証明すること。
• TMF^21(pt) = 0 が異常マップの消滅に果たす役割を明らかにし、主要なトポロジカル障害を提供すること。
• フリードとホプキンズの量子場理論異常に関する結果を用いて、セガール＝ストルツ＝タイヒナー予想の下でのTMFのねじれを記述すること。

提案手法

• d次元の量子場理論の異常を、(d+1)次元の可逆QFTとして形式化し、(I_Z Ω^B)^d+2(pt) で分類する。ここでBは接続構造である。
• セガール＝ストルツ＝タイヒナー予想を適用し、TMF^• がストリング構造を持つ拡張2次元SCFTを分類するコホモロジー理論として特定すること。
• ヘテロティック理論の異常マップとして、自然変換 TMF^• → (I_Z Ω^string)^•−20 を構成すること。
• TMF^21(pt) = 0 であることを利用して、異常マップが消えることを証明し、グローバル異常がないことを示すこと。
• 可逆位相の分類と、分類群およびアンドリューズ双対との関係を用いて、TMFのねじれを分析すること。
• アティヤ＝ヒルツェブルのスペクトル系列と相対スピン分類群における長完全系列を用いて、関連する分類群を計算し、同型性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルなモジュラー形式からストリング分類のアンドリューズ双対への自然変換が消えるか。その結果、ヘテロティック弦理論におけるグローバル異常がないことが示されるか？
• RQ2 セガール＝ストルツ＝タイヒナー予想は、TMF をストリング構造を持つ2次元量子場理論の分類にどのように関係するか？
• RQ3 TMF^21(pt) = 0 は異常マップの消滅にどのような役割を果たすか？
• RQ4 セガール＝ストルツ＝タイヒナー予想の下で、TMF のねじれは分類と異常理論の観点からどのように記述できるか？
• RQ5 6次元のSU(2)ゲージ理論のグローバル異常は、アンドリューズ双対分類を介して摂動的異常から導けるか？

主な発見

• 自然変換 TMF^• → (I_Z Ω^string)^•−20 は恒等的に消え、すべてのヘテロティックグローバル異常がないことが証明される。
• TMF^21(pt) = 0 の消滅は、異常マップが消えるのを強制する重要なトポロジカル入力である。
• SU(2)ゲージ群をもつ6次元ヘテロティック理論の異常は、(I_Z Ω^spin)^6(BSU(2)) ≃ ℤ/2ℤ で分類され、ウィッテン異常に対応する。
• 写像 (I_Z Ω^spin)^6(BSU(3)) → (I_Z Ω^spin)^6(BSU(2)) は生成子を生成子に送り、相対分類群における異常の非自明性を確認する。
• SU(2) → SU(3) に対する相対スピン分類群の長完全系列は、6次元で 0 → ℤ → ℤ → ℤ/2ℤ → 0 となり、分類群の完全系列と同型である。
• この結果は、グローバル異常が障害を受けないことを確認しており、関連構造による引き戻しの下で異常類がゼロとなる群に位置するからである。