[論文レビュー] Topological Modular Forms of Level 3

Mark Mahowald, Charles Rezk|ArXiv.org|Dec 10, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線のレベル3構造に関連する「ビルディング複体」に結びついたコサイミックスペクトル構成を用いて、素数2におけるレベル3のトポロジカルモジュラー形式スペクトルTMF(Γ₀(3))のホモトピー群を計算する。K(2)-局所化球面を含むコ쥘ラシオを確立し、MStringおよびER(2)に関連するTMF(Γ₀(3))の連結モデルを提示する。関連するA(2)-加群のアダムズスペクトル系列およびQ(3)のホモトピー群について明示的な計算を行う。

ABSTRACT

We describe and compute the homotopy of spectra of topological modular forms of level 3. We give some computations related to the "building complex" associated to level 3 structures at the prime 2. Finally, we note the existence of a number of connective models of the spectrum TMF(Gamma_0(3)).

研究の動機と目的

• 素数2におけるレベル3のトポロジカルモジュラー形式スペクトルTMF(Γ₀(3))のホモトピー群を計算すること。
• 楕円曲線のレベル3構造に関連する「ビルディング複体」から得られるコサイミックスペクトルQ(3)のホモトピーを理解すること。
• TMF(Γ₀(3))を他のクロマティックスペクトル、特にMStringおよび実ジョンソン＝ウィルソンスペクトルER(2)の連結モデルと関連付けること。
• ベレンスの予想、すなわちQ(3)の双対とK(2)-局所化球面を含むK(2)-局所コ쥘ラシオに関する証拠を提供すること。
• Q(3)のホモトピーから生じるA(2)-加群に関するアダムズスペクトル系列を分析し、TMF(Γ₀(3))のホモトピーとの関係を明らかにすること。

提案手法

• 楕円曲線のレベル3構造に関連する「ビルディング複体」からコサイミックスペクトルQ(3)を構成し、一般化された楕円曲線のモジュライスタックのエタール被覆を用いる。
• グアース＝ホプキンズ＝ミラーの定理を適用して、コンパクト化されたモジュライスタックMbar上のE∞-層O_tmfを定義し、TMF(Γ₀(3))をその全体切断として得る。
• エタール写像f: N → Mbarに対して、スペクトル系列E2 = H^s(N, f^*ω^⊗k) ⇒ π_{2k−s}O_tmf(f)を用いてホモトピー群を計算する。
• モジュラー形式とそれらのTMF(Γ₀(3))への上昇の間の写像δ = q* − f*を分析し、Δおよびc4における作用を2を法とする形式的べき級数で計算する。
• A(2)-加群構造を用いたアダムズスペクトル系列を適用し、特にExt群をA(2){a44,a49}/(Sq1,Sq5,Sq7,Sq4)のような加群に対して計算し、bo-ブラウン＝ジトラースペクトルと関連付ける。
• K(2)-局所ホモトピー論における認識原理を用いて、TMF、TMF(Γ₀(3))およびbo-スペクトルのウェッジのコ쥘ラシオを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数2におけるTMF(Γ₀(3))のホモトピー群は何か？
• RQ2 レベル3構造の文脈において、写像δ = q* − f*はΔやc4のようなモジュラー形式にどのように作用するか？
• RQ3 コサイミックスペクトルQ(3)の構造は何か？ そして、K(2)-局所球面とどのように関係するか？
• RQ4 MStringおよびER(2)の文脈において、TMF(Γ₀(3))の連結モデルはどのように生じるか？
• RQ5 Q(3)に関連するA(2)-加群のアダムズスペクトル系列は明示的に計算可能か？ また、その結果はTMF(Γ₀(3))のホモトピーに何を明らかにするか？

主な発見

• TMF(Γ₀(3))のホモトピー群は完全に計算され、π_*TMF(Γ₀(3))はZ[1/6]係数のレベル3モジュラー形式の環に同型であり、スペクトルは2完備である。
• δ(Δ^{2^r(2k+1)}) ≡ a₁^{3·2^{r+1}}a₃^{2^{r+1}(4k+1)} mod 2であり、q*とf*の差が2進展開における最初の非自明な項を上昇させることを示している。
• A(2)-加群M = A(2){a44,a49}/(Sq1,Sq5,Sq7,Sq4)に対するアダムズスペクトル系列には微分がなく、M₁およびM₂を含む短完全系列を用いてExt群が計算され、M₂は既知の完全系列に適合する。
• K(2)-局所的に、コ쥘ラシオΣ³²TMF → (Σ⁸bo₁ ∪ Σ¹⁶bo₂) ∧ TMF → TMF(Γ₀(3))が存在し、TMF(Γ₀(3))をTMFおよび連結スペクトルと関連付ける。
• TMF(Γ₀(3))はMStringスペクトルに自然に現れる連結モデルを備え、そのホモトピーはbo-ブラウン＝ジトラースペクトルを介した写像によって検出可能である。
• Q(3)のホモトピーは、写像TMF(Γ₀(3)) → bo ∨ Σ⁸boのファイバーの11番目のホモトピー骨格と一致し、このファイバーはH*(bo)⊗2/Σ₂のA(2)-加群構造によって検出可能である。