[論文レビュー] (Topological) modular forms with level structures: decompositions and duality

Lennart Meier|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、レベル構造を備えた楕円曲線のモジュライスタック上のベクトルバンドルの加法的分解を確立し、その結果、素数 l がレベルを割らない場合、モジュラー形式およびトポロジカルモジュラー形式（tmf, Tmf）の環の明示的分解が得られる。主な結果は、n ≥ 4 かつ弱いコhomological 条件を満たす場合、押し出し層 (fₙ)₆𝒪 が、素数 l に応じて標準的バンドル ω^⊗m、ℰ₂、または ℰ₃ のテンソル積に分解されることであり、これにより、これらの対象の完全な代数的およびトポロジカル的理解が可能になる。

ABSTRACT

The present article studies decompositions of vector bundles on the moduli stack of elliptic curves that are pushforwards of vector bundles on moduli of elliptic curves with level structure. These imply decomposition results for rings of modular forms and also for topological modular forms. We give explicit formulas for these decompositions and also apply them to equivariant topological modular forms. Moreover, we study the dualizing sheaf on $\overline{\mathcal{M}}_1(n)$ and characterize the numbers $n$ such that $Tmf_1(n)$ is Anderson self-dual.

研究の動機と目的

• 伝統的な乗法的手法が失敗する場合を含め、レベル構造を備えたモジュラー形式の環の加法的構造を理解すること。
• 有理数体 ℚ 上での既知のモジュラー形式の分解を、一般の底環 R（特に ℤ_(l) や特徴数 l の体を含む）に拡張すること。
• これらの代数的分解を安定ホモトピー論に応用し、特にレベル構造を備えたトポロジカルモジュラー形式（tmf, Tmf）に適用すること。
• Tmf₁(n) が Anderson 自己双対である条件を特定し、数論とトポロジカルモジュラー形式における双対性を結びつけること。
• ℰₙ の標準的バンドルへの分解における各重み m の重複度を計算し、隠れた対称性を明らかにすること。

提案手法

• モジュライスタック ℳ̄₁(n) → ℳ̄_ell への射影 fₙ を用い、構造層を引き戻し、その押し出し層 (fₙ)₆𝒪 が ℳ̄_ell 上でどのように振る舞うかを調べる。
• H¹(ℳ̄₁(n)_(l); ω) におけるコhomological 条件を適用し、押し出し層 ℰₙ が ω^⊗m、ℰ₂、または ℰ₃ のテンソル積に分解されることを保証する。
• 降下スペクトル系列を用いて代数的分解をトポロジカルな設定に持ち上げ、Tmf₁(n)_(l) が Tmf_(l)-加群として分解することを証明する。
• モジュラー形式の空間の次元を用いて重複度を計算し、各標準的バンドルのコピー数を明示的な公式で得る。
• ℳ̄₁(n) 上の双対化層を解析し、ω^⊗k ≅ ω_dual となる n を分類することで、対称的分解を特定する。
• l > 3 のとき ℰₙ が ω^⊗m に分解し、l = 3 のとき ℰ₂ ⊗ ω^⊗m に、l = 2 のとき ℰ₃ ⊗ ω^⊗m に分解することを、提示された torsion 条件のもとで用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 l とレベル n に対して、ℳ̄_ell 上の押し出し層 (fₙ)₆𝒪 が標準的バンドル ω^⊗m、ℰ₂ ⊗ ω^⊗m、または ℰ₃ ⊗ ω^⊗m に分解されるか？
• RQ2 ω^⊗m の各成分における重複度は何か？ また、この重複度が対称性を示すのはいつか？
• RQ3 トポロジカルモジュラー形式スペクトル Tmf₁(n) が Anderson 自己双対であるのはいつか？ そして、ℳ̄₁(n) の幾何学とどのように関係するか？
• RQ4 l-完備化の下で分解公式はどのように振る舞い、非コンパクト化された場合における H¹ 条件の役割は何か？
• RQ5 どの n に対して ℳ̄₁(n) の双対化層が ω のべきと同型となり、これにより分解にどのような意味が生じるか？

主な発見

• n ≥ 4 かつ H¹- torsion 条件を満たす場合、l > 3 では (fₙ)₆𝒪 が ω^⊗m に分解され、l = 3 では ℰ₂ ⊗ ω^⊗m に、l = 2 では ℰ₃ ⊗ ω^⊗m に分解される。
• l = 0 の場合、分解は ℰ₂ ⊗ ω^⊗m および ℰ₃ ⊗ ω^⊗m の両方の形で存在し、分解型に双対性が現れる。
• ω^⊗m の重複度は、モジュラー形式の空間の次元から計算可能であり、第5.1節に明示的な公式が与えられている。
• 対称的分解は、ℳ̄₁(n) の双対化層が ω のべきと同型となる場合に限り発生し、これは n ≤ 8（ genus 0）、n = 11, 14, 15（ genus 1）、n = 23（ genus 12）のときである。
• l = 2 または 3 かつ n ≥ 4 の場合、非コンパクト化された状況でも、ω のすべてのべきが同じ重複度をもつことが示され、隠れた対称性が裏付けられる。
• H¹(ℳ̄₁(n)_(l); ω) に l- torsion が存在しない場合、Tmf₁(n)_(l) は Tmf_(l)-加群として分解する。これは代数的分解をトポロジカルな設定に拡張するものである。