[論文レビュー] Topological obstructions for robustly transitive endomorphisms on surfaces

Cristina Lizana, Wagner Ranter|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、臨界点をもつ曲面上の強力に推移的（robustly transitive）な自己準同型写像が部分的双曲性（partially hyperbolic）でなければならないことを確立し、このような系はトーラスまたはクラインのびん（Klein bottle）の上でのみ存在可能である。ドミネートド・スプリッティングとエルゴディック理論を用いて、最初のホモロジー群への誘導作用には、1つ以上の固有値の絶対値が1より大きいことが示され、他の曲面上での強力な推移性のための位相的障害が特定される。

ABSTRACT

We address the problem of necessary conditions and topological obstructions for the existence of robustly transitive maps on surfaces. Concretely, we show that partial hyperbolicity is a necessary condition in order to have $C^1$ robustly transitive endomorphisms with critical points on surfaces, and the only surfaces that admits robustly transitive maps are either the torus or the klein bottle. Moreover, we show that every robustly transitive endomorphism is homotopic to a linear map having at least one eigenvalue with modulus larger than one.

研究の動機と目的

• 臨界点をもつ曲面上の強力に推移的（robustly transitive）な自己準同型写像が存在するための必要十分な位相的および力学的条件を同定すること。
• 強力な推移性が通常双曲的構造に類似した性質を要する以上、どの閉じた曲面がこのような系を支持できるかを特定すること。
• 臨界点をもつ自己準同型写像において、強力な推移性が部分的双曲性を必要とするという条件を確立すること。これは、局所微分同相写像では弱い双曲性が不要であるのとは対照的である。
• このような系の最初のホモロジー群への誘導作用を特徴づけ、少なくとも1つの固有値の絶対値が1より大きいことを証明すること。

提案手法

• ドミネートド・スプリッティングとコーン・フィールドを用いて、不変部分束に沿った微分の振る舞いを解析し、自己準同型写像の力学を分析すること。
• 周期軌道の平均の弱収束として不変測度を構成し、リャプノフ指数を研究するためのエルゴディック理論の応用。
• バーキホフのエルゴディック定理とポincareの再帰定理を用いて、軌道に沿った微分ノルムの長期的挙動を分析すること。
• Franksの補題を用いて周期点における微分を摂動し、吸引域（sink）を構成することで、推移性に矛盾を引き起こし、部分的双曲性を証明すること。
• ドミネートド・スプリッティングから得られる連続的不変部分束を活用し、ホモロジー群への作用を通じて位相的障害を導出すること。
• 全軌道の空間 $M_f$ 上でのシフト写像を用いた記号的力学への還元により、測度論的道具の使用を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界点をもつ曲面上の自己準同型写像が強力に推移的（robustly transitive）であるための力学的条件として何が必須か？
• RQ2 強力に推移的（robustly transitive）な自己準同型写像（局所微分同相写像でないもの）を支持できる閉じた曲面はどれか？
• RQ3 臨界点をもつ自己準同型写像において、強力な推移性は弱い双曲性（例：部分的双曲性）を含意するか？
• RQ4 最初のホモロジー群への誘導作用が、このような系の存在をどのように制約するか？
• RQ5 基本群やホモロジーといった位相的不変量によって、ある曲面上に強力に推移的（robustly transitive）な自己準同型写像が存在できないことが妨げられるか？

主な発見

• 臨界点をもつ曲面上の強力に推移的（robustly transitive）な自己準同型写像は、部分的双曲性を満たす必要があることが示され、部分的双曲性が必須条件であることが確立された。
• 強力に推移的（robustly transitive）な自己準同型写像を臨界点とともに持てる唯一の曲面は、トーラス $\mathbb{T}^2$ とクラインのびん $\mathbb{K}^2$ に限られ、他のすべての閉じた曲面は除外される。
• 部分的双曲性を持つ自己準同型写像の最初のホモロジー群への誘導作用には、絶対値が1より大きい固有値が少なくとも1つ存在する。
• 証明は、制御された微分成長を示す周期点を構成し、Franksの補題を用いて摂動を施し、吸引域（sink）を生成することで、推移性に矛盾を引き起こすことに依拠している。
• 強力な推移性はドミネートド・スプリッティングの存在を含意し、これにより不変測度が構成され、リャプノフ指数の推定を用いて非部分的双曲性下での矛盾を導く。
• この結果は、微分同相写像に対するMañéの定理を臨界点をもつ自己準同型写像へと拡張し、特異点が存在する場合には位相的障害がより強く働くことが示された。