[論文レビュー] Topological Obstructions To Maximal Slices

Donald Witt|ArXiv.org|Aug 21, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、多くの漸近的に平坦かつ空間的に閉じた全局的因果的時空が、トポロジカル障害のため最大スライスを許さないことを確立している。空間的多様体Σが非負のスカラー曲率（R ≥ 0）を持つ計量を許す必要があるが、これはほとんどのトポロジでは不可能である。著者は、唯一、球面空間形式とS²×S¹の連結和、あるいは平坦多様体のトポロジーのみがこのような計量を許すことを証明しており、一般相対性理論において最大スライスは例外的であり、一般的な法則ではないことを示している。

ABSTRACT

A necessary condition for a globally hyperbolic spacetime ${\mathbb R} imes Σ$ to admit a maximal slice is that the Cauchy slice $Σ$ admit a metric with nonnegative scalar curvature, $R\ge 0$. In this paper, the two cases considered are the closed spatial manifold and the asymptotically flat spatial manifold. Although most results here will apply in four or more spacetime dimensions, this work will mainly consider 4-dimensional spacetimes. For $Σ$ closed or asymptotically flat, all topologies are allowed by the field equations. Since all $Σ$ occur as Cauchy slices of solutions to the Einstein equations and most $Σ$ do not admit metrics with $R\ge 0$, it follows that most globally hyperbolic spacetimes never admit a maximal slice, i.e. a slice with zero mean extrinsic curvature. In particular, asymptotically flat globally hyperbolic spacetimes which admit maximal slices are the exception rather than the rule. The reason for this is due to topological obstructions to constructing such slices. In the asymptotically flat case, this will be shown by smooth compactification of the manifold in order to use the results for spatially closed manifolds.

研究の動機と目的

• 全局的因果的時空が最大スライスを許さないトポロジカル条件を特定すること。
• すべての漸近的に平坦または閉じた時空が最大超曲面を支持できるかどうかという長年の問いを解消すること。
• すべての3次元多様体が物理的に妥当な初期データを許すが、R≥0計量を許すのはごく一部のトポロジーに限られ、これが最大スライスを妨げるということを示すこと。
• 滑らかなコンパactificationを用いて、3次元多様体が非負のスカラー曲率を許す分類を漸近的に平坦な時空へ拡張すること。
• CMC超曲面の存在はトポロジカルに妨げられないが、最大スライス（平均曲率がゼロのCMC）はそうではないことを明確にすること

提案手法

• 全局的因果的時空ℝ×Σが最大スライスを許すための必要条件として、ΣがR≥0の計量を許す必要があることを証明する。
• Gromov-Lawsonによる3次元多様体が非負のスカラー曲率を許すものの分類を適用し、閉じた3次元多様体のわずかな部分集合しかこれを満たさないことを示す。
• 演算子−8D²+Rのグリーン関数を用いたコンパクト化定理を構築し、漸近的に平坦な多様体と閉じた多様体を関連付ける。
• 最大原理を用いて、コンパクト化計量における共形因子φ>0であることを示し、滑らかさと正値性を保証する。
• コンパクト化結果とR>0を持つ閉じた3次元多様体の分類を組み合わせ、漸近的に平坦なΣがR≥0計量を許すかどうかを分類する。
• 定理を適用し、最大スライスを許すのは、球面空間形式とS²×S¹の連結和（または平坦多様体）に限ることを示す

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全局的因果的時空の空間的トポロジーΣは、どの程度が最大スライスを許すか？
• RQ2 3次元多様体が非負のスカラー曲率を持つ計量を許さないトポロジカル障害は何か？
• RQ3 すべての漸近的に平坦な時空が最大スライスを保証できるのか、それとも一般的なトポロジカル障害があるのか？
• RQ4 漸近的に平坦な多様体のコンパクト化は、R≥0計量の存在とどのように関係するか？
• RQ5 非自明なトポロジーを持つ時空で、CMC超曲面は許すが最大スライスは許さないものは存在するか？

主な発見

• 多くの漸近的に平坦な全局的因果的時空は、空間的トポロジーがR≥0計量を許さないため、最大スライスを許さない。
• R≥0計量を許す唯一の閉じた3次元多様体は、球面空間形式とS²×S¹の連結和、または6つの平坦多様体のいずれかである。
• 漸近的に平坦な時空では、空間的トポロジーが球面空間形式とS²×S¹の連結和から有限個の点を除いたものでなければならない場合、最大スライスを許す。
• コンパクト化定理により、R≥0を持つ漸近的に平坦な多様体の分類が、R>0を持つ閉じた多様体の分類に還元され、既知の結果を用いて分類可能になる。
• すべての3次元多様体は物理的に妥当な初期データを許し、CMC超曲面も許すが、R≥0計量を許すのは極めて一部のトポロジーに限られ、これが最大スライスを妨げる。
• 最大スライスの存在はトポロジーだけでは保証されない。許容されるトポロジーであっても、時空幾何がそれを妨げることがあり、T³トポロジーを持つダスト満たされたロバートソン・ウォーカー例でそれが示されている。