[論文レビュー] Topological phases and quantum computation

Alexei Kitaev, Chris R. Laumann|ArXiv.org|Apr 20, 2009

Topological Materials and Phenomena参考文献 10被引用数 77

ひとこと要約

本稿は、量子多体系におけるトポロジカルな物質相とフォールトトレランスあり量子計算の理論的枠組みを確立する。メジャナナ鎖、トーリックコード、ヘキサゴナル格子といった正確に解けるモデルを分析することで、トポロジカルな簡約性と任意ons的励起状態が、グローバルなトポロジカル不変量から生じることを示し、局所的摂動に対して保護された量子情報の保存とバーニングに基づく量子ゲートを可能にする。

ABSTRACT

This is a collection of lecture notes from three lectures given by Alexei Kitaev at the 2008 Les Houches summer school "Exact methods in low-dimensional physics and quantum computing." They provide a pedagogical introduction to topological phenomena in 1-D superconductors and in the 2-D topological phases of the toric code and honeycomb model.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元の量子系に存在する、保護されたキュービットを有するトポロジカル相を特定・特徴づけること。
• ギャップを持つ系におけるトポロジカル簡約性が、局所的対称性ではなく、基盤となる多様体のトポロジーに起因することを示すこと。
• 非アーベル的任意onsとキラル的エッジモードが、正確に解けるモデルで実現可能であり、トポロジカル量子計算を可能にすることを示すこと。
• チーン数などのトポロジカル不変量と、フェルミオン系およびスピン系におけるロバストなエッジモードの数との間の関係を確立すること。
• 有効ハミルトニアンとコンformal field theory (CFT) を用いて、局所的摂動下におけるトポロジカルキュービットの耐性を分析すること。

提案手法

• 横磁場イジング模型 (TFIM) をジョルダン＝ヴァイナー変換により二次的フェルミオンハミルトニアンに写像し、鎖の端にメジャナナ零モードが現れることを明らかにする。
• 正方形格子上にキタエフのトーリックコードモデルを適用し、基底状態とアーベル的統計を示す任意ons励起状態を明示的に構成する。
• ゲージ理論的定式化を導入して、出現するトポロジカル秩序と任意onsのバーニング統計を明らかにする。
• 1サイトあたり4つのメジャナナフェルミオンを用いたヘキサゴナル格子モデルを分析し、スピン系をペアリング項が調整可能なフェルミオン的ハミルトニアンに写像する。
• ハミルトニアン行列の負の固有空間の運動量空間写像を用いてスペクトルチーン数を計算し、キラル的エッジモードの数と関連付ける。
• コンformal field theory (CFT) を用いてエッジエネルギー電流を計算し、キラル的中央電荷を用いてキラルモードの耐性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップを持つ量子系において、トポロジカル簡約性はどのように局所的摂動に対して保護されるか？
• RQ2 1次元鎖の端にゼロエネルギーのメジャナナモードが安定化される際、トポロジーが果たす役割は何か？
• RQ3 トーリックコード内の任意ons励起状態がどのようにアーベル的統計を示し、トポロジカル量子計算を支えるか？
• RQ4 時間反転対称性を破壊する2次元フェルミオン系において、キラル的エッジモードの数を決定するトポロジカル不変量は何か？
• RQ5 なぜキラル的エッジモードは局所的摂動に対して耐性を示し、エネルギー電流がどのように量子化されるか？

主な発見

• 1次元のメジャナナ鎖は、$bZ_2$対称性によって保護されるゼロエネルギーのメジャナナ零モードのおかげで、開いた境界を持つ系で2重の基底状態簡約性を示す。
• トーリス上のトーリックコードは、非可縮的サイクルを回る任意onsフラックスのおかげで4重のトポロジカル基底状態簡約性を持つ。
• トーリックコード内の任意onsはアーベル的統計を示す：2つの任意onsをバーニングすると位相因子$-1$（半的統計）が得られ、融合則は$e \times m = f$、$e \times f = m$などとなる。
• ヘキサゴナル格子モデルは、チーン数$ u = 1$に対応するギャップを持つ相を支持し、トポロジーによって保護された1つのキラル的メジャナナエッジモードを持つ。
• 温度$T$におけるキラルエッジモードは、エネルギー電流$I = \frac{\tau}{12}(c - \bar{c})T^2 = \frac{\tau}{24}\tau^2$を運び、1つのキラルモードでは$c - \bar{c} = 1$となる。
• 運動量空間におけるフェルミオン的ハミルトニアン行列のスペクトルチーン数は、キラルエッジモードの数を直接数える：$ u = (\text{左に進むモード}) - (\text{右に進むモード})$