[論文レビュー] Topological properties of the unitary group

Jesús F. Espinoza, Bernardo Uribe|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

advanced mathematical theories参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、無限次元の分離可能ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ のユニタリ群 $U(\mathcal{H})$ が、強い作用素位相、コンパクト・オーディナリー位相、弱い作用素位相の下でポーランド群であることを確立している。これらの位相は $U(\mathcal{H})$ 上で一致するためである。著者らは、アティヤとセガルのねじれ付き等変形K理論の基礎的業績において誤って述べられた主張（$U(\mathcal{H})$ がコンパクト・オーディナリー位相の下で位相群でない）を是正し、逆写像および乗法写像がこれらの位相の下で連続であることを証明した。

ABSTRACT

We show that the strong operator topology, the weak operator topology and the compact-open topology agree on the space of unitary operators of a infinite dimensional separable Hilbert space. Moreover, we show that the unitary group endowed with any of these topologies is a Polish group.

研究の動機と目的

• 無限次元の分離可能ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上のユニタリ群 $U(\mathcal{H})$ の位相的構造を明確化すること。
• 特に、アティヤとセガルが $U(\mathcal{H})$ がコンパクト・オーディナリー位相の下で位相群でないと誤って主張した長年の混乱を解消すること。
• 強い作用素位相、弱い作用素位相、コンパクト・オーディナリー位相が $U(\mathcal{H})$ 上で一致することを示すこと。
• これらの位相のいずれかを備えた $U(\mathcal{H})$ が、完全に距離づけ可能かつ分離可能であるポーランド群であることを証明すること。

提案手法

• 著者らは、有界作用素空間 $B(\mathcal{H})$ 上でのさまざまな作用素位相（ノルム位相、強い位相、弱い位相、コンパクト・オーディナリー位相、およびそれらの *-変種）における収束を分析する。
• 彼らはユニタリ群 $U(\mathcal{H})$ に注目する。これは $UU^* = U^*U = \mathrm{Id}$ を満たす作用素の集合として定義される。
• バナッハ・シュタインハウスの定理およびベールのカテゴリ定理を用いて、強い作用素位相における列収束がコンパクト集合上で一様収束を意味することを示し、$U(\mathcal{H})$ 上で強い位相とコンパクト・オーディナリー位相が同値であることを確立する。
• すべての $x$ に対して $T_k x \to Tx$ となるノルム収束が、行列要素 $\langle T_k x, y \rangle \to \langle T x, y \rangle$ の収束を意味することを示すことにより、強い作用素位相と弱い作用素位相が $U(\mathcal{H})$ 上で一致することを証明する。
• 強いつい作用素位相において $U(\mathcal{H})$ が $B(\mathcal{H})$ の閉集合であること、および強いつい作用素位相が $U(\mathcal{H})$ 上で完全に距離づけ可能であることを用いる。
• 作用素位相間の連続写像の可換図式を構成し、強い位相におけるコンパクト集合がコンパクト・オーディナリー位相でもコンパクトであることを利用することで、恒等写像が $U(\mathcal{H})_{\text{co}}$ と $U(\mathcal{H})_{\text{s}}$ 間のホメオモーフィズムを誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・オーディナリー位相はユニタリ群 $U(\mathcal{H})$ を位相群にできるか？
• RQ2 強い作用素位相、弱い作用素位相、コンパクト・オーディナリー位相は $U(\mathcal{H})$ 上で一致するか？
• RQ3 $U(\mathcal{H})$ がこれらの位相のいずれかの下でポーランド群であるか？
• RQ4 逆写像はコンパクト・オーディナリー位相の下で $U(\mathcal{H})$ 上で連続か？
• RQ5 アティヤとセガルが主張した『$U(\mathcal{H})$ はコンパクト・オーディナリー位相の下で位相群でない』という主張は正しいか？

主な発見

• 強い作用素位相、弱い作用素位相、コンパクト・オーディナリー位相はすべて $U(\mathcal{H})$ 上で一致する。
• 逆写像がコンパクト・オーディナリー位相の下で連続であることが示され、アティヤとセガルの研究における重要な問題が解決された。
• 強い作用素位相を備えたユニタリ群 $U(\mathcal{H})$ はポーランド群である。すなわち、完全に距離づけ可能かつ分離可能である。
• ノルム位相は $U(\mathcal{H})$ 上で強い作用素位相よりも厳密に細かい。これは、強い収束はするがノルム収束はしないユニタリ作用素の列によって示された。
• $U(\mathcal{H})_{\text{co}}$ と $U(\mathcal{H})_{\text{s}}$ 間の恒等写像がホメオモーフィズムであることが示され、位相的同値性が証明された。
• アティヤとセガルの2004年の論文とは対照的に、群 $U(\mathcal{H})$ はコンパクト・オーディナリー位相の下で位相群である。