[論文レビュー] Topological quantum field theories

Albert Schwarz|ArXiv.org|Nov 29, 2000

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル量子場理論（TQFT）の基礎的枠組みを提示し、その理論的基盤をチェーン＝サイモンズ理論およびバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）形式的体系と結びつける。計量に依存しない作用関数がBRST自明な観測量を通じてトポロジカル不変量を生み出すことを示し、主な結果としてTQFTとリードマイスター捩れ、リンク不変量、平坦接続のモジュライ空間との関係を明らかにする。特に、$G/G$モデルがチェーン＝サイモンズ理論に関連する2次元トポロジカル場理論として、新たな導出がなされている。

ABSTRACT

Following my plenary lecture on ICMP2000 I review my results concerning two closely related topics: topological quantum field theories and the problem of quantization of gauge theories. I start with old results (first examples of topological quantum field theories were constructed in my papers in late seventies) and I come to some new results, that were not published yet.

研究の動機と目的

• 計量に依存しない作用関数に基づく、トポロジカル量子場理論（TQFT）の厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 特にチェーン＝サイモンズ理論を通じて、リードマイスター捩れやリンク多項式などのトポロジカル不変量とTQFTを結びつけること。
• ゲージ理論に適用可能なバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）形式的体系を用いて、TQFTの構成を高次元に一般化すること。
• BRSTコホモロジーおよび微分同相変換不変性が、トポロジカルな観測量および計量に依存しない相関関数を定義する役割を明らかにすること。
• モジュライ空間の幾何的性質を分析することで、ウィッテン型とシュバルツ型TQFTを統一すること。

提案手法

• 3次元多様体 $ M $ 上のトポロジカル作用関数の代表例として、チェーン＝サイモンズ作用関数 $ S = \int_M \mathrm{Tr}\left( A \wedge dA + \frac{1}{3} A \wedge A \wedge A \right) $ を用いる。
• ゲージ理論の量子化にバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）形式的体系を適用し、エネルギー運動量テンソルのBRST自明性がトポロジカル不変性を保証することに注目する。
• BRST閉じた観測量の相関関数が計量および時空座標に依存しないことを示し、これによりトポロジカルな観測量が定義されることを示す。
• 計量（またはゲージ条件）の空間に閉じた微分形式を構成し、その形式が商空間 $ \mathcal{M} = \{ \text{計量} \} / \text{微分同相変換} $ に下りる。この空間は $ B\mathrm{Diff}(M) $ とホモトピー同値である。
• これらの形式を、分類空間 $ B\mathrm{Diff}(M) $ 上のコホモロジー類と関連づけ、低次元トポロジーにおける既知の結果と結びつける。
• $ G/G $モデルを、ゲージ化WZNW模型とBV量子化を経由して導出された、チェーン＝サイモンズ理論の2次元トポロジカル場理論的実現とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量に依存しない作用関数が、量子場理論においてどのようにトポロジカル不変量を生み出すのか。
• RQ2 BRST対称性およびBRST自明な観測量が、トポロジカル量子場理論を構築する上で果たす正確な役割は何か。
• RQ3 平坦接続および計量のモジュライ空間と、TQFTにおける微分同相変換群のコホモロジーとの関係は何か。
• RQ4 チェーン＝サイモンズ理論と2次元における $ G/G $ モデルとの関係は何か。
• RQ5 バタリン＝ヴィルコヴィチ形式的体系が、制約を伴うトポロジカルゲージ理論の整合的量子化をどのように可能にするか。

主な発見

• アーベル型チェーン＝サイモンズ作用関数 $ S = \int_M A \wedge dA $ の分配関数は、リードマイスター捩れの滑らかな版であるレイ＝シンガー捩れと関係している。
• 非アーベル型チェーン＝サイモンズ作用は、3次元多様体のトポロジカル不変量を生み出し、リンクのジョーンズ多項式と深い関係がある。
• ウィッテン型TQFTにおけるBRST閉じた観測量は、計量に依存しない相関関数を生み出し、理論のトポロジカル性を裏付けている。
• 計量の空間に構成された閉じた微分形式は、商空間 $ \mathcal{M} $ に下りるが、この空間は分類空間 $ B\mathrm{Diff}(M) $ とホモトピー同値である。
• 2次元において、計量のモジュライ空間は複素構造のモジュライ空間とホモトピー同値であり、TQFTとデリーニュ＝マウムフォードコンパクト化が結びつく。
• $ G/G $モデルが、平坦接続のパrametrization $ A = g^{-1} dg $ を経由して、BV形式的体系およびチェーン＝サイモンズ理論から導出された2次元トポロジカル場理論と等価であることが示された。