[論文レビュー] Topological Quantum Field Theories -- A Meeting Ground for Physicists and Mathematicians

Romesh K. Kaul|ArXiv.org|Jul 15, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル量子場理論（TQFT）、特にチェーン＝サイモンズ理論を、数学的トポロジーと量子場理論を統合する非摂動的枠組みとして提示する。真空期待値としてのウィルソンループ演算子の結果が、ジョーンズ多項式やそれ以上のものといった、正確で解析的な結び目およびリンクの不変量を生み出すことを示し、スカルピングを用いた3次元多様体の不変量の構成により、低次元における物理学とトポロジーの深い橋渡しを確立する。

ABSTRACT

Topological quantum field theories can be used as a powerful tool to probe geometry and topology in low dimensions. Chern-Simons theories, which are examples of such field theories, provide a field theoretic framework for the study of knots and links in three dimensions. These are rare examples of quantum field theories which can be exactly (non-perturbatively) and explicitly solved. Abelian Chern-Simons theory provides a field theoretic interpretation of the linking and self-linking numbers of a link. In non-Abelian theories, vacuum expectation values of Wilson link operators yield a class of polynomial link invariants; the simplest of them is the famous Jones polynomial. Other invariants obtained are more powerful than that of Jones. Powerful methods for completely analytical and non-perturbative computation of these knot and link invariants have been developed. In the process answers to some of the open problems in knot theory are obtained. From these invariants for unoriented and framed links in $S^3$, an invariant for any three-manifold can be easily constructed by exploiting the Lickorish-Wallace surgery presentation of three-manifolds. This invariant up to a normalization is the partition function of the Chern-Simons field theory. Even perturbative analysis of the Chern-Simons theories are rich in their mathematical structure; these provide a field theoretic interpretation of Vassiliev knot invariants. Not only in mathematics, Chern-Simons theories find important applications in three and four dimensional quantum gravity also.

研究の動機と目的

• 理論物理学と純粋数学の間の統一的枠組みとして、トポロジカル量子場理論を確立すること。
• チェーン＝サイモンズ理論が、結び目および3次元多様体トポロジーの問題に対して正確で非摂動的解を与えることを示すこと。
• 具体的には、ウィルソンループ期待値という物理的観測量が、リンクや結び目の強力な多項式不変量を生み出す仕組みを示すこと。
• リコリッシュ＝ウォレスのスカルピング定理を用いて、フレームドリンクにおける不変量から3次元多様体不変量を構成すること。
• 摂動的チェーン＝サイモンズ理論の数学的豊かさを探索し、ヴァシリエフ不変量と結びつけること。

提案手法

• 2+1次元におけるチェーン＝サイモンズゲージ理論を、中心的な物理的枠組みとして用いる。
• ウィルソンループ演算子を用いて、リンクのトポロジカル不変量を符号化する真空期待値を計算する。
• 任意の閉じた3次元多様体が、S³におけるフレームドリンクのスカルピングとして表現可能であるというリコリッシュ＝ウォレスの定理を適用する。
• チェーン＝サイモンズ理論の分配関数を、正規化を除いて3次元多様体のトポロジカル不変量として導出する。
• 理論の摂動的展開を分析し、ヴァシリエフ結び目の不変量を回復する。
• 理論の正確な可解性を活用して、近似を一切用いずに不変量を解析的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル量子場理論は、結び目およびリンクの正確で非摂動的不変量をどのように提供できるか？
• RQ2 チェーン＝サイモンズ理論における分配関数の数学的構造は何か？ そして、3次元多様体トポロジーとどのように関係するか？
• RQ3 非アーベルチェーン＝サイモンズ理論におけるウィルソンループ期待値は、ジョーンズ多項式のような多項式不変量をどのように生み出すか？
• RQ4 チェーン＝サイモンズ理論の摂動的解析は、どのようにヴァシリエフの有限型不変量を回復するか？
• RQ5 3次元多様体のスカルピング表現を用いて、リンク不変量からトポロジカル不変量をどのように構成できるか？

主な発見

• アーベル型チェーン＝サイモンズ理論は、リンクのリンク数および自己リンク数の場理論的解釈を提供する。
• 非アーベルチェーン＝サイモンズ理論は、リンクの多項式不変量を生み出し、最も単純なものはジョーンズ多項式である。
• 理論における高次元表現を用いることで、ジョーンズ多項式よりも強力な不変量が得られる。
• チェーン＝サイモンズ理論の分配関数は、正規化を除いて、任意の3次元多様体のトポロジカル不変量として機能する。
• 理論の摂動的展開により、結び目理論におけるヴァシリエフの有限型不変量に対応する不変量が得られる。
• S³におけるフレームドリンクのスカルピングを介して、3次元多様体不変量を理論の分配関数によって直接的に構成できる。