[論文レビュー] Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories

Sergei Gukov, Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 63

ひとこと要約

本稿は、ウィルソン-'t Hoopt基準を超えて、ギャップのある4次元ゲージ理論における位相的量子場理論（TQFT）フレームワークを提案する。特に、非局所的オペレーター、特に表面オペレーターを用いて、その分類を実現する。アーベルおよび非アーベルの相について、ダイオンまたはモノポール凝縮を伴うTQFTを構築し、θ角が量子化されていること、非アーベル理論の閉じ込め相が非アーベル2-接続の曲率に関する制約を伴う非アーベルゲルベによって記述されることを示す。また、モノポールフラックスに制約を課えることで、格子形式により異なる相を実現する。

ABSTRACT

We revisit the role of loop and surface operators as order parameters for gapped phases of four-dimensional gauge theories. We show that in some cases surface operators are confined, and that this fact can be used to distinguish phases which are not distinguished by the Wilson-'t Hooft criterion. The long-distance behavior of loop and surface operators which are neither confined nor screened is controlled by a 4d TQFT. We construct these TQFTs for phases which are characterized by the presence of electrically and/or magnetically charged condensates. Interestingly, the TQFT describing a phase with a nonabelian monopole condensate is based on the theory of nonabelian gerbes. We also show that in phases with a dyonic condensate the low-energy theta-angle is quantized.

研究の動機と目的

• ウィルソン-'t Hooft基準が特定の閉じ込め相とヒッグス相を区別できないのを補完し、4次元ゲージ理論におけるギャップのある相を分類すること。
• 閉じ込められず、スクリーニングされないループおよび表面オペレーターの長距離挙動を記述するTQFTの構築により、トポロジカルオーダーを捉えること。
• 電荷、磁気的、またはダイオン凝縮を伴うアーベルおよび非アーベルの相について、明示的なTQFT作用を構築すること。非アーベルモノポール凝縮を含む相も含む。
• SU(N)/Z_Nゲージ理論の低エネルギー有効理論が、モノポール凝縮電荷が生成するZ_Nの部分群に敏感なTQFTであることを示すこと。
• SU(N)/Z_Nゲージ理論の異なる相を、モノポールフラックスに制約を課えるヴィライン型形式を用いた格子ゲージ理論によって実現すること。これは、ゲージ群の異なる被覆に対応する。

提案手法

• ループおよび表面オペレーターをオーダーパramーターとして用い、長距離挙動（面積則：閉じ込め、周囲則：脱閉じ込め）によって相を区別する。
• 任意のダイオン凝縮を伴うアーベル相について、トポロジカル制約によりθ角が量子化されることを示すTQFTを構築する。
• 非アーベルゲージ理論の閉じ込め相を記述するために非アーベルゲルベを適用し、2-接続の曲率に関する制約を含むTQFT作用を提示する。
• 格子実装のために、SU(N)リンク変数とZ_N値をとるプレートット変数w_Pを用いたヴィライン型形式を採用し、離散的1形式変換のもとでのゲージ不変性を保証する。
• 立方体上でのm_c = 1またはm_c^p = 1という形で、モノポールフラックスにゲージ不変な制約を課し、SU(N)/Z_Nの異なる被覆に対応させる。
• t: Z_N → SU(N)のクロスモジュールを用いて、Z_N値をとるB場とSU(N)ゲージ理論の結合を記述する。p=1では自明な作用、p>1では非自明な3形式構造が現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面オペレーターは、ウィルソン-'t Hooft基準では区別できない4次元ゲージ理論のギャップのある相を区別できるか？
• RQ2 ダイオン凝縮を伴う相を記述するTQFTをどのように構築できるか。また、それらがθ角にどのような制約を課えるか？
• RQ3 非アーベルゲージ理論の閉じ込め相を記述する非アーベルゲルベの役割は何か。また、アーベル理論のヒッグス相とはどのように関係するか？
• RQ4 格子ゲージ理論は、モノポールフラックスに制約を課えることで、SU(N)/Z_Nゲージ理論の異なる相をどのように実現できるか？
• RQ5 SU(N)/Z_Nヤン・ミルズ理論の低エネルギーTQFT記述は、モノポール凝縮電荷が生成するZ_Nの部分群によって完全に分類可能か？

主な発見

• ダイオン凝縮を伴う相では、TQFT記述のトポロジカル性が直接的にθ角の量子化をもたらす。
• SU(N)/Z_Nゲージ理論において、低エネルギーTQFTはモノポール凝縮電荷が生成するZ_Nの部分群に依存し、異なる相はNの約数に対応する。
• 非アーベルゲージ理論の閉じ込め相は非アーベルゲルベTQFTによって記述され、これはアーベルな未破れゲージ群のヒッグスTQFTと同等である。
• SU(N)/Z_Nゲージ理論の格子形式では、モノポールフラックスに制約を課えることで異なる相を実現できる：m_c = 1（普遍被覆）、m_c^p = 1（p約数被覆）、または制約なし（自明被覆）。
• すべてのモノポールが凝縮した相のTQFTは、自明な被覆SU(N)/Z_N → SU(N)/Z_Nに対応する。一方、自明なフラックスのモノポールのみが凝縮した相は、普遍被覆SU(N) → SU(N)/Z_Nに対応する。
• Z_N値をとるB場（プレートット変数w_Pを介して）をSU(N)格子ゲージ理論に結合させることで、低エネルギーでSU(N)/Z_Nゲージ理論が実現され、TQFT作用は連続極限で∫|Tr F - t(B)|²に類似する。