[論文レビュー] Topological quantum hashing with icosahedral group

Michele Burrello, Haitan Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の1キュービットユニタリゲートを、イコサハedral群の要素を用いてフェルミオニクスのブレードにマッピングする位相的量子ハッシュアルゴリズムを提示する。ブレードセグメントから擬似群を構築し、縮約群的手法を適用することで、平均誤差εに対してO(log(1/ε))の時間コストとO(log(1/ε))のブレード長を達成し、SU(2)行列の近似を実現する。これにより、効率的な量子コンpileが可能となる。

ABSTRACT

We study an efficient algorithm to hash any single qubit gate (or unitary matrix) into a braid of Fibonacci anyons represented by a product of icosahedral group elements. By representing the group elements by braid segments of different lengths, we introduce a series of pseudo-groups. Joining these braid segments in a renormalization group fashion, we obtain a Gaussian unitary ensemble of random-matrix representations of braids. With braids of length O[log(1/epsilon)], we can approximate all SU(2) matrices to an average error epsilon with a cost of O[log(1/epsilon)] in time. The algorithm is applicable to generic quantum compiling.

研究の動機と目的

• 任意の1キュービット量子ゲートをフェルミオニクスのブレード表現にスケーラブルにコンパイルする手法を開発すること。
• 最小限のブレード長で、位相的量子回路を用いてSU(2)行列を効率的に近似する課題に対処すること。
• 縮約群のインスピレーションを受けて、誤差を制御可能なガウスユニタリアンサンプルに類似した表現を生成するブレードセグメントの構築法を提唱すること。
• 誤差許容度の対数スケーリングに適した、高精度のゲート近似を達成し、実用的な量子コンパイルに適したものとすること。

提案手法

• ユニタリゲートを、長さが異なるブレードセグメントとして符号化されたイコサハedral群の要素の積として表現する。
• これらのブレードセグメントから擬似群を構築し、位相的量子フレームワーク内でイコサハedral群の代数的構造をモデル化する。
• ブレードセグメントを縮約群の方法に従って接続することで、階層的かつスケーラブルなブレード表現を生成する。
• 得られたブレード表現は、ガウスユニタリアンサンプルのランダム行列の集合を形成し、SU(2)変換の統計的近似を可能にする。
• 本手法により、任意のSU(2)行列が、平均誤差εに対してブレード長O(log(1/ε))で近似可能であることが保証される。
• アルゴリズムの時間計算量はO(log(1/ε))であり、量子コンパイル応用において効率的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論的構造を用いて、任意の1キュービットユニタリゲートをフェルミオニクスのブレード表現に効率的に符号化できるか？
• RQ2 イコサハedral群をどのように活用して、スケーラブルかつ高精度なブレード表現を構築できるか？
• RQ3 SU(2)行列の近似において、与えられた平均誤差εを達成するために必要な最小ブレード長は何か？
• RQ4 縮約群のアプローチを用いて、誤差を制御可能なガウスユニタリアンサンプルに類似したブレード表現の集合を構築できるか？
• RQ5 1キュービットゲートをこのような位相的ブレード表現にコンパイルする際の時間計算量は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、任意のSU(2)行列を、平均誤差εに対してブレード長O(log(1/ε))で近似可能である。
• アルゴリズムの時間計算量はO(log(1/ε))にスケーリングされ、量子ゲートのコンパイルが効率的であることが保証される。
• イコサハedral群の要素をブレードセグメントとして用いることで、構造的で擬似群に基づく位相的ブレードの構築が可能になる。
• 縮約群のアプローチに従ってブレードセグメントを階層的に接続することで、ガウスユニタリアンサンプルに類似した行列表現の集合が生成される。
• 得られたブレード表現は、位相的量子ハッシュおよび量子コンパイルに耐障害的かつスケーラブルなフレームワークを提供する。
• 本手法は、位相的量子回路が誤差許容度の対数スケーリングに従って、高精度のゲート近似を達成できることを示している。