[論文レビュー] Topological reconstruction theorems for varieties

Janós Kollár, Max Lieblich+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、特性 0 で非可算な代数閉体上の次元 2 以上の固有正則多様体に対して、トポロジカル Torelli 定理を確立する。ここでは、ザリスキ位相空間そのものが、ウェイリ・ディバイザー上の線形同値関係を介して元のスキーム構造を決定することを示している。有理型の射影幾何学の基本定理の形を用いて、著者たちはトポロジカルデータからスキーム構造を再構成し、構成可能エタール層のガブリエルの定理のトポロジカル版を導く。

ABSTRACT

We study Torelli-type theorems in the Zariski topology for varieties of dimension at least 2, over arbitrary fields. In place of the Hodge structure, we use the linear equivalence relation on Weil divisors. Using this setup, we prove a universal Torelli theorem in the sense of Bogomolov and Tschinkel. The proofs rely heavily on new variants of the classical Fundamental Theorem of Projective Geometry of Veblen and Young. For proper normal varieties over uncountable algebraically closed fields of characteristic 0, we show that the Zariski topological space can be used to recover the linear equivalence relation on divisors. As a consequence, we show that the underlying scheme of any such variety is uniquely determined by its Zariski topological space. We use this to prove a topological version of Gabriel's theorem, stating that a proper normal variety over an uncountable algebraically closed field of characteristic 0 is determined by its category of constructible abelian \'etale sheaves. We also discuss a conjecture in arbitrary characteristic, relating the Zariski topological space to the perfection of a proper normal variety.

研究の動機と目的

• 固有正則多様体のザリスキ位相空間が、そのスキーム構造を一意に決定する条件を特定すること。
• ホッジ理論を超える Torelli 型定理を、ウェイリ・ディバイザー上の線形同値関係を幾何的不変量として用いることで拡張すること。
• 構成可能アーベルエタール層の圏からスキームを回復する、ガブリエルの定理のトポロジカル版を確立すること。
• 体の特性および完備性がトポロジカル再構成に与える役割を調査すること、特に正の特性における場合を含む。

提案手法

• 任意の体上で定義可能な射影的構造を扱うために、射影幾何学の基本定理の有理型形を発展させること。
• 線形系統およびペンキルの結合幾何学を用いて、ザリスキ位相から線形同値類を回復すること。
• モデル理論的および圏論的技法を用いて、位相空間と除数類写像からスキームを再構成すること。
• 構成可能エタール層の構造を活用し、補集合と既約性を用いてザリスキ位相と閉部分集合を回復すること。
• 構成可能層の補集合と既約閉部分集合が、その層の圏から再構成可能であることを証明すること。
• ユニバーサル Torelli フレームワークを用いて、問題を準射影的ケースおよび有限体に還元し、一般設定に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可算な代数閉体の特性 0 において、次元 ≥2 の固有正則多様体のスキーム構造は、ザリスキ位相空間のみから一意に回復可能か？
• RQ2 ウェイリ・ディバイザー上の線形同値関係が、ザリスキ位相においてどの程度位相的不変量として機能するか？
• RQ3 構成可能アーベルエタール層の圏は、このような多様体のスキーム構造の完全不変量か？
• RQ4 正の特性ではどうなるか？多様体の完備性はその位相空間から回復可能か？
• RQ5 バーマーの定理やフーリエ＝ムカイの古典的再構成定理の類似トポロジカル版は存在するか？

主な発見

• 非可算な代数閉体の特性 0 における固有正則多様体について、ザリスキ位相空間そのものが、線形同値関係が位相的に定義可能であることから、スキーム構造を一意に決定する。
• この設定において、ウェイリ・ディバイザー上の線形同値関係は、ザリスキ位相から一意に回復可能であり、スキーム再構成が可能である。
• ガブリエルの定理のトポロジカル版が証明された：構成可能アーベルエタール層の圏は、全体切断が非可算な代数閉体の特性 0 であるとき、スキームを決定する。
• 正の特性における反例は、ザリスキ位相がスキーム構造を決定しないことを示唆しているが、多様体の完備性は回復可能である可能性がある。
• 完備スキームの同型からその位相空間のホメオモーティズムへの写像は、一般に全単射ではないため、正の特性において完備性は自然な不変量であると考えられる。
• 結果から、数体上の P^n の超曲面に対して、除数次数を保存するザリスキホメオモーティズムは、Q-スキームの同型を誘導する。