[論文レビュー] Topological recursion relations in genus 2

Ezra Getzler|ArXiv.org|Jan 1, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 107

ひとこと要約

本稿は、moduli space $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ 上の交線論を用いて、genus 2 における重力的後続関数の位相的再帰関係を確立する。$\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のホッジ多項式を計算し、タウトロジカルクラスを分析することで、$\psi_i$ クラスの二次多項式が境界サイクルであることを示し、genus 2 の相関関数に対する明示的な再帰関係を得る。主な結果として、$\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ の有理コホモロジー環は、$\psi_1$、$\psi_2$、$\delta_1$、$\delta_{1,1}$、$\delta_{1,2}$、$\delta_0$ の6つの除数によって生成されることを示す。この研究は、低 genus からの再帰関係を拡張し、明示的な交線計算と過剰交線定理を用いて、genus 2 における構造を確認する。

ABSTRACT

In Part 1 of this paper, we study gravitational descendents of Gromov-Witten invariants for general projective manifolds, applying the Behrend-Fantechi construction of the virtual fundamental classes. In Part 2, we calculate the topological recursion relations in genus 2. There are two of these, one for the second descendent of a field, and one for the first descendents of two fields. The proof uses the results of Part 1 together with a thorough study of intersection theory on the moduli space $\bar{M}_{2,2}$.

研究の動機と目的

• genus 0 および 1 における既知の関係を拡張し、genus 2 における重力的後続相関関数の位相的再帰関係を導出すること。
• $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のホッジ多項式を、混合ホッジモジュールおよび既知のタウトロジカルクラスの結果を用いて計算すること。
• $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ におけるタウトロジカルクラスの構造を特定すること。特に、$\psi_i$ クラスの二次多項式が境界サイクルであることを示すこと。
• $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ の有理コホモロジー環が、6つの特定の除数によって生成されることを証明し、この場合のタウトロジカル環の代数的構造を確認すること。
• ベーリング＝ファンテキ構成および仮想基本クラスを用いて、genus 2 における重力的後続関数の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のホッジ多項式を、混合ホッジモジュールおよび交線論の結果を用いて $1 + 6uv + 14u^2v^2 + 14u^3v^3 + 6u^4v^4 + u^5v^5$ として計算する。
• 過剰交線定理を適用し、$\psi_1^2$ と境界除数 $\delta_{1,1}$、$\delta_{1,2}$ の交線を計算し、明示的なサイクル表現を得る。
• タウトロジカルクラスにおける立方単項式の基底を用い、線形方程式系を解いて $\psi_1\psi_2$ を境界サイクルの有理結合として表現する。
• Fabers の Maple プログラムを用い、$\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のタウトロジカル環におけるさまざまな次数の単項式間の交線数を計算する。
• 二次および四次単項式間の交線行列を分析し、指定された6つの除数によって生成されるコホモロジー部分代数のランクを決定する。
• 交線数行列が次数6でランク14、次数4でランク6であることを確認し、コホモロジー環が指定された6つの除数によって生成されることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 0 および 1 とは異なり、$\mathcal{M}_{2,n}$ において $\psi_i$ クラスが非自明であることを踏まえると、genus 2 における重力的後続関数の位相的再帰関係はどのように異なるか？
• RQ2 低 genus と同様に、$\overline{\mathcal{M}}_{2,n}$ 上の $\psi_i$ クラスの二次多項式は境界サイクルとして表現可能か？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ の有理コホモロジー環の構造は何か？ どの除数がそれを生成するか？
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のタウトロジカル環は、$\psi_1$、$\psi_2$、$\delta_1$、$\delta_{1,1}$、$\delta_{1,2}$、$\delta_0$ の6つの除数によって生成されるか？
• RQ5 タウトロジカルクラスの単項式の交線数は、$\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のコホモロジー構造をどの程度決定するか？

主な発見

• $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ のホッジ多項式は $1 + 6uv + 14u^2v^2 + 14u^3v^3 + 6u^4v^4 + u^5v^5$ として計算され、空間のホッジベッチ数を確認する。
• $\psi_1^2$ は境界サイクルの有理結合として表され、$\psi_1^2 = \frac{7}{5}\delta_{1,1} + \frac{1}{5}\delta_{1,2} - \frac{1}{120}\delta_0 + \frac{13}{120}\delta_{1,1}^{(2)} + \frac{1}{120}\delta_{1,2}^{(2)}$ である。これは、genus 2 において二次 $\psi$-クラスが境界であることを示す。
• $\delta_{1,1}$ とサイクル $\psi_1^2$ の交線は 0 に等しく、$\delta_{1,2} \cdot \psi_1^2 = -\frac{1}{48}$ である。これはコホモロジー環の主要な数値不変量を提供する。
• タウトロジカルクラスの二次および四次単項式間の交線行列のランクは 6 であり、次数5および1の単項式間の行列のランクは 14 である。これにより、コホモロジー環が指定された6つの除数によって生成されることを裏付ける。
• $\overline{\mathcal{M}}_{2,2}$ の有理コホモロジー環は、$\psi_1$、$\psi_2$、$\delta_1$、$\delta_{1,1}$、$\delta_{1,2}$、$\delta_0$ によって生成される。これは、次数6における交線行列がフルランクであることから示される。
• 本稿は、$H^\bullet(\overline{\mathcal{M}}_{2,3},\mathbb{Q})$ が $H^2$ によって生成されないものの、完全なコホモロジーが代数的であることを確認し、高次点付きモジュライ空間におけるより深い構造を示唆する。