[論文レビュー] Topological recursive relations in $H^{2g}(M_{g,n})$

Eleny-Nicoleta Ionel|ArXiv.org|Aug 13, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 2$ に対して、$H^{2g}({\cal M}_{g,n})$ において、次数が $g$ 以上の任意の単項式が、従来のクラスまたはタウトロジカルクラスにおいて消えることを証明している。これはルイエンガの結果を一般化し、ゲツラーの予想のバージョンを確認するものである。証明は、2点に対する $\mathbb{P}^1$ の相対的グロモフ＝ウィッテン不変量、分解公式、および2点分岐サイクルの構造を用いて、このようなクラスが、高々次数 $g$ のサイクルの線形結合であることを示し、開モジュライ空間上では、次数が $g$ に等しいときにはそのサイクルが消えることを導く。

ABSTRACT

We show that any degree at least $g$ polynomial in descendant or tautological classes vanishes on $M_{g,n}$ when $g\ge 2$. This generalizes a result of Looijenga and proves a version of Getzler's conjecture. The method we use is the study of the relative Gromov-Witten invariants of $P^1$ relative 2 points combined with the degeneration formulas of [IP1]. At the end of the paper, we also included a quick proof of a very recent conjecture made by Vakil.

研究の動機と目的

• $g \geq 2$ に対して、$\mathcal{M}_{g,n}$ のコホモロジーにおけるタウトロジカルクラスの、リーマン・シュリーファーの消滅結果を、チャウ群からコホモロジーへ一般化すること。
• 降下クラスおよびタウトロジカルクラスに関するトポロジカル再帰関係（TRR）のコホモロジー版であるゲツラーの予想を証明すること。
• 任意の $\psi_i$ および $\kappa_a$ クラスにおける次数 $m$ の単項式のペインカーレ双対が、一般化された2点分岐サイクルの線形結合として表現可能であることを確立すること。
• このような次数がちょうど $g$ のサイクルが $\mathcal{M}_{g,n}$ 上で消えることを示し、主要な消滅定理を導くこと。

提案手法

• 2点に対する $\mathbb{P}^1$ の相対的グロモフ＝ウィッテン理論を用いて、固定された分岐を持つ安定相対写像のモジュライ空間 $\overline{{\cal Y}}_{d,g,n}$ を構成する。
• 分解公式（[IP1] より）を適用し、ドメインモジュライ空間 $\overline{{\cal M}}_{g,n}$ 上のコホモロジークラスを、ターゲット空間 $\overline{{\cal M}}_{0,k}$ からの押し出しに結びつける。
• ペインカーレ双対性および $\overline{{\cal Y}}_{d,g,n}$ 上の基本クラスの存在を根拠に、$\overline{{\cal M}}_{g,n}$ 上のサイクルクラスを定義する。
• 安定化写像 $st: \overline{{\cal Y}}_{d,g,n} \to \overline{{\cal M}}_{g,n}$ および忘却写像 $q$ を用いて、$\overline{{\cal M}}_{0,k}$ からの既知の関係を引き戻す。
• 帰納法および境界ストラトム解析を用いて、次数 $g$ の2点分岐サイクルが $\mathcal{M}_{g,n}$ 上で消えることを示し、主要な消滅結果を証明する。
• 任意の $\psi$ および $\kappa$ クラスにおける次数 $m$ の単項式のペインカーレ双対が、低次元ストラトムからの接続写像を介して表現可能な一般化された2点分岐サイクルの生成する部分環に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \geq 2$ に対して、$H^{2g}(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q})$ において、降下クラスまたはタウトロジカルクラスの次数が $g$ 以上の任意の単項式は消えるか？
• RQ2 相対的グロモフ＝ウィッテン不変量の分解公式を用いて、$\mathcal{M}_{g,n}$ におけるコホモロジー的消滅結果を証明できるか？
• RQ3 $H^*(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q})$ の部分環としての2点分岐サイクルが、すべての高次タウトロジカルクラスを表現するのに十分か？
• RQ4 次数がちょうど $g$ の一般化された2点分岐サイクルは、開モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上で消えるか？
• RQ5 任意の $\psi$ および $\kappa$ クラスにおける次数 $m$ の単項式のペインカーレ双対は、$m+1-g$ 個以上の genus 0 成分を持つストラトムからのサイクルの線形結合として表現可能か？

主な発見

• $g \geq 2$ のとき、任意の降下クラスまたはタウトロジカルクラスの積で、全次数が $g$ 以上であるものは、$H^{2g}(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q})$ で消える。これはゲツラーの予想のコホモロジー版を確認するものである。
• 任意の $\psi_i$ および $\kappa_a$ クラスにおける次数 $m$ の単項式のペインカーレ双対は、次数 $m$ の一般化された2点分岐サイクルの線形結合として表現可能である。
• 次数 $g$ の一般化された2点分岐サイクルは $\mathcal{M}_{g,n}$ 上で消える。これは主要な消滅定理を導く。
• 任意の $\psi$ および $\kappa$ クラスにおける次数 $m$ の単項式のペインカーレ双対は、2点分岐サイクルおよびその境界接続写像による引き戻しによって生成される部分環に属する。
• このようなサイクルのドメインにおける genus 0 成分の数は、少なくとも $m+1-g$ 個以上である。これは、そのクラスを支えるストラトムの複雑さを制限する。
• 証明により、すべてのこのような関係が代数的性質を持つことが示され、代数的・幾何学的証明が分解公式に拡張されれば、消滅はチャウ環へも拡張可能である。