[論文レビュー] Topological Representation of the Transit Sets of k-Point Crossover Operators

Manoj Changat, Prasanth G. Narasimha-Shenoi+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Advanced Control Systems Optimization参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、遺伝的アルゴリズムにおけるkポイントクローニング作用素が、基礎となるハミンググラフの測地的凸性と一致する凸構造を持つ遷移集合を生成することを確立し、Mulderの未解決問題を解決した。さらに、これらの遷移集合がVC次元k+1の均一な向き付きマトロイドのトーピーであることを示し、擬球配置による表現が可能であることが判明した。k=2の場合には、グラフ論的および位相的道具を用いて詳細な特徴付けがなされた。

ABSTRACT

$k$-point crossover operators and their recombination sets are studied from different perspectives. We show that transit functions of $k$-point crossover generate, for all $k>1$, the same convexity as the interval function of the underlying graph. This settles in the negative an open problem by Mulder about whether the geodesic convexity of a connected graph $G$ is uniquely determined by its interval function $I$. The conjecture of Gitchoff and Wagner that for each transit set $R_k(x,y)$ distinct from a hypercube there is a unique pair of parents from which it is generated is settled affirmatively. Along the way we characterize transit functions whose underlying graphs are Hamming graphs, and those with underlying partial cube graphs. For general values of $k$ it is shown that the transit sets of $k$-point crossover operators are the subsets with maximal Vapnik-Chervonenkis dimension. Moreover, the transit sets of $k$-point crossover on binary strings form topes of uniform oriented matroid of VC-dimension $k+1$. The Topological Representation Theorem for oriented matroids therefore implies that $k$-point crossover operators can be represented by pseudosphere arrangements. This provides the tools necessary to study the special case $k=2$ in detail.

研究の動機と目的

• グラフにおける測地的凸性が区間関数によって一意に定まるかどうか、Mulderの未解決問題を解明すること。
• kポイントクローニング作用素の遷移関数およびその背後にあるグラフ構造を特徴付けること。
• 特に2進文字列に対して、kポイントクローニングの遷移集合の位相的および組合せ的性質を調査すること。
• GitchoffとWagnerが提起した予想——「ハイパーキューブを除くすべての遷移集合は一意な親ペアに由来する」——が真であるかどうかを特定すること。
• kポイントクローニングと向き付きマトロイド理論との関係、特にVC次元および擬球配置表現の観点から探求すること。

提案手法

• 最大k個のブレークポイントを持つ区間ベースの再結合によりkポイントクローニングを定義し、後代に親の文字列が含まれることを保証する。
• 再結合集合をモデル化するため、転送関数の公理（T1–T3）を用い、Mulderのグラフにおける凸性および中間性の枠組みに整合させる。
• kポイントクローニング転送関数の背後にあるグラフをハミンググラフまたは部分キューブとして特徴付ける。
• 2進文字列におけるkポイントクローニングの遷移集合が、VC次元k+1の均一な向き付きマトロイドのトーピーであることを確立する。
• 向き付きマトロイドの位相的表現定理を適用し、kポイントクローニングを擬球配置によって表現する。
• k=2の特殊ケースを、次数分布および遷移集合グラフにおける辺数の計数を含むグラフ論的道具を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフの区間関数は、その測地的凸性を一意に決定するか？
• RQ2 2進文字列におけるkポイントクローニング作用素の遷移集合は、均一な向き付きマトロイドのトーピーとして実現可能か？
• RQ3 k > 1の場合、kポイントクローニングの遷移集合は、すべての転送関数の中で最大のVC次元を持つか？
• RQ4 GitchoffとWagnerの予想——「ハイパーキューブを除くすべての遷移集合は一意な親ペアに由来する」——は真か？
• RQ5 kポイントクローニング作用素は、特にk=2の場合、擬球配置によって位相的に表現可能か？

主な発見

• k > 1の場合、kポイントクローニング作用素の転送関数は、基礎となるハミンググラフの測地的区間関数と同一の凸性を生成する。これにより、Mulderの未解決問題は否定的に解決された。
• k > 1の場合、2進文字列におけるkポイントクローニングの遷移集合は、VC次元k+1の均一な向き付きマトロイドのトーピーに正確に一致する。
• 位相的表現定理により、kポイントクローニング作用素は擬球配置によって表現可能であり、再結合プロセスの位相的実現が得られた。
• k=2の場合、遷移集合グラフには2t個の次数3の頂点とt²−3t個の次数4の頂点があり、握手補題に基づく線形方程式系から導出された。
• kポイントクローニング作用素の遷移集合が、すべての転送関数の中で最大のVC次元を持つことが示され、その組合せ的複雑性が確認された。
• 結果はすべてのハミンググラフに直接拡張可能であり、kポイントクローニングの構造は、ハミング距離および親間の文字列位置の差にのみ依存するからである。