[論文レビュー] Topological simplicity, commensurator super-rigidity and non-linearities of Kac-Moody groups

Bertrand Rémy, Patrick Bonvin|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、右側のFuchsian型のビルディングを持つ有限体上の特定の可算Kac-Moody群が、任意の体上に線形的でないことを、共役体の超剛性定理と放物部分群の動的特徴付けを用いて確立している。さらに、位相的Kac-Moody群が位相的に単純な群の積であり、そのIwahori部分群がpro-p Sylow部分群を正規化することを示し、局所体上の単純な群と類似していることを強化している。

ABSTRACT

We provide new arguments to see topological Kac-Moody groups as generalized semisimple groups over local fields: they are products of topologically simple groups and their Iwahori subgroups are the normalizers of the pro-p Sylow subgroups. We use a dynamical characterization of parabolic subgroups to prove that some countable Kac-Moody groups with Fuchsian buildings are not linear. We show for this that the linearity of a countable Kac-Moody group implies the existence of a closed embedding of the corresponding topological group in a non-Archimedean simple Lie group, thanks to a commensurator super-rigidity theorem proved in the Appendix by P. Bonvin.

研究の動機と目的

• 有限体上の特定の可算Kac-Moody群が、同じ特徴を持つ体上でも、いかなる体に対しても線形的でないことを証明すること。
• 正の特徴を持つ局所体上の半単純群の一般化として、位相的Kac-Moody群の構造的類似性を確立すること。
• 位相的Kac-Moody群におけるIwahori部分群が、pro-p Sylow部分群の正規化群であることを示すこと。
• ビルディングへの作用に基づいた放物部分群の動的特徴付けを提供すること。
• 抽象群の準同型を非アーキメデス的Lie群への連続準同型に拡張する超剛性を用いて、その拡張を実現すること。

提案手法

• P. Bonvinによる付録で証明された共役体の超剛性定理を用い、抽象群の準同型を非アーキメデス的単純Lie群への連続準同型に持ち上げること。
• 力学系の技法を適用し、特に、標的群の同次空間へのΓ-不変な可測境界写像の存在を利用する。
• 精密Tits系の理論と、パラホリック部分群の仮想的pro-p性を用いて、位相的Kac-Moody群の構造を分析する。
• 群がブルハット＝ティツのビルディングの積に作用することを用い、格子性と算術性を導出する。
• エルゴディック理論とZariski閉包の議論を用いて、境界写像が本質的に定数でないことを示し、像が非自明であることを示す。
• ゾルンの補題と代数的部分群の降鎖条件を用い、境界空間から同次空間へのΛ-不変な可測写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右側のFuchsian型ビルディングを持つ可算Kac-Moody群は、同じ特徴を持つ体に対しても、いかなる体に対しても線形的であるか？
• RQ2 位相的Kac-Moody群の構造は、正の特徴を持つ局所体上の半単純群の一般化として理解できるか？
• RQ3 位相的Kac-Moody群におけるIwahori部分群は、pro-p Sylow部分群の正規化群として特徴づけられるか？
• RQ4 線形表現の連続拡張が存在することは、群が非アーキメデス的単純Lie群に閉埋め込みをもつことを意味するか？
• RQ5 ビルディングへの群作用の力学的性質を用いて、非線形性を検出できるか？

主な発見

• この論文は、各素数pに対して、特徴pの有限体上の無限に多くの可算Kac-Moody群が、いかなる体に対しても線形的でないことを証明している。
• 有限体上の位相的Kac-Moody群は、Dynkin図の各連結成分に対応する位相的に単純な群の直積として示されている。
• 位相的Kac-Moody群におけるIwahori部分群は、正確にpro-p Sylow部分群の正規化群である。
• 可算Kac-Moody群の線形性は、共役体の超剛性を介して、非アーキメデス的単純Lie群への閉埋め込みの存在を意味する。
• 境界写像による放物部分群の動的特徴付けは、線形の場合に矛盾を引き起こし、非線形性を証明する。
• Furstenberg境界から有理的表現のグラスマン多様体への境界写像は本質的に定数でないため、像がZariski稠密かつ非自明であることが示唆される。