[論文レビュー] Topological strings and large $\mbf N$ phase transitions I: Nonchiral expansion of $\mbf q$-deformed Yang-Mills theory

Nicola Caporaso, Michele Cirafici+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2005

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所カルビ＝ヤウ3-fold上のBPSブラックホール束縛状態を研究するために、リーマン面上のq変形ヤン・ミルズ理論の分配関数を計算する。この結果、大N相転移が明らかになる。弱い結合定数では、理論は解消されたコンパクト化されたコンパクトなトポロジカル弦理論の分配関数に還元されるが、臨界点では非自明な真空状態とインスタントンが支配的となり、強結合相転移を示唆する。結果は正確な分配関数解析と鞍点近似によって得られ、一重カット解と二重カット解を有するq変形ドーキンス＝カザコフ方程式が導かれる。

ABSTRACT

We examine the problem of counting bound states of BPS black holes on local Calabi-Yau threefolds which are fibrations over a Riemann surface by computing the partition function of $q$-deformed Yang-Mills theory on the Riemann surface. We study in detail the genus zero case and obtain, at finite $N$, the instanton expansion of the gauge theory. It can be written exactly as the partition function for $U(N)$ Chern-Simons gauge theory on a Lens space, summed over all non-trivial vacua, plus a tower of non-perturbative instanton contributions. The correspondence between two and three dimensional gauge theories is elucidated by an explicit mapping between two-dimensional Yang-Mills instantons and flat connections on the Lens space. In the large $N$ limit we find a peculiar phase structure in the model. At weak string coupling the theory reduces exactly to the trivial flat connection sector with instanton contributions exponentially suppressed, and the topological string partition function on the resolved conifold is reproduced in this regime. At a certain critical point all non-trivial vacua contribute, instantons are enhanced and the theory appears to undergo a phase transition into a strong coupling regime. We rederive these results by performing a saddle-point approximation to the exact partition function. We obtain a $q$-deformed version of the Douglas-Kazakov equation for two-dimensional Yang-Mills theory on the sphere, whose one-cut solution below the transition point reproduces the resolved conifold geometry. Above the critical point we propose a two-cut solution that should reproduce the chiral-antichiral dynamics found for black holes on the Calabi-Yau threefold and the Gross-Taylor string in the undeformed limit.

研究の動機と目的

• 局所カルビ＝ヤウ3-fold上のBPSブラックホール束縛状態を理解するために、リーマン面上のq変形ヤン・ミルズ理論の分配関数を計算すること。
• 2次元ヤン・ミルズインスタントンとレンズ空間上の平坦接続の間の対応を解明すること。
• 大N極限を分析し、ゲージ理論における相転移、特に強結合領域の出現を同定すること。
• ドーキンス＝カザコフ方程式のq変形版を導出し、異なる結合定数領域における一重カット解と二重カット解を特定すること。

提案手法

• 非自明な真空状態の和をとった、レンズ空間上のU(N)チェーン＝シモンズ理論の有限N分配関数の正確な計算。
• 2次元ヤン・ミルズインスタントンとレンズ空間上の平坦接続の明示的マッピングにより、ゲージ理論とトポロジーの対応を確立すること。
• 正確な分配関数の鞍点近似を用いて、大N極限と相構造を分析すること。
• 球面上の2次元ヤン・ミルズ理論におけるq変形ドーキンス＝カザコフ方程式の導出。
• q変形方程式の一重カット解と二重カット解の分析により、弱結合および強結合相を記述すること。
• 弱結合領域の一重カット解を解消されたコンパクト化されたコンパクトな幾何学と比較し、強結合領域の二重カット解を非変形極限におけるチャーラル＝アンチチャーラルダイナミクスと比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q変形ヤン・ミルズ理論のリーマン面上の分配関数は、局所カルビ＝ヤウ3-fold上のBPSブラックホール束縛状態をどのように符号化するか？
• RQ2 q変形ヤン・ミルズ理論における大N相転移の性質は何か？また、トポロジカル弦理論とどのように関係するか？
• RQ3 2次元ヤン・ミルズインスタントンはレンズ空間上の平坦接続にどのようにマッピングされ、これによりゲージ理論とトポロジーの対応にどのような意味が生じるか？
• RQ4 理論の弱結合領域と強結合領域における非摂動的インスタントン寄与は、それぞれどのように機能するか？
• RQ5 q変形ドーキンス＝カザコフ方程式は、平坦接続の支配的領域とインスタントン寄与の増強の間の遷移をどのように記述するか？

主な発見

• 弱いストリング結合定数領域では、理論は指数的に抑制されたインスタントン寄与を持つ自明な平坦接続領域に正確に還元され、解消されたコンパクト化されたコンパクトな幾何学上のトポロジカル弦理論の分配関数を再現する。
• 大N極限における臨界点で、すべての非自明な真空状態が寄与し、インスタントンが増幅される。これは強結合領域への相転移を示唆する。
• 正確な分配関数の鞍点近似により、球面上の2次元ヤン・ミルズ理論におけるq変形ドーキンス＝カザコフ方程式が得られる。
• 臨界点未満のq変形方程式の一重カット解は、解消されたコンパクト化されたコンパクトな幾何学を再現する。
• 臨界点を超えた二重カット解は、非変形極限におけるチャーラル＝アンチチャーラルダイナミクスを記述すると提案され、グロス＝テイラー弦理論に対応する。
• 2次元ヤン・ミルズインスタントンとレンズ空間上の平坦接続の対応が明示的に確立され、ゲージ理論のダイナミクスの幾何的実現が得られる。