[論文レビュー] Topological Strings on Local Elliptic Curve and Non Planar 3-Vertex Formalism

L.B. Drissi, El Hassan Saidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2007

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大複素構造極限を持つ退化する楕円曲線 $E^{(t,∞)}$ を底面とする局所カルビ＝ヤウ3-fold $X^{(m,-m,0)} = \mathcal{O}(m) \oplus \mathcal{O}(-m) \to E^{(t,∞)}$ 上のトポロジカル弦理論に対して、非平面的トポロジカル3頂点形式 formalism を開発する。この形式は $\mathbb{P}^2$ 上への埋め込みを活用し、A-理論の振幅についての初歩的結果を提供する。さらに、$U(1)$ ゲージ化 $\mathcal{N}=2$ シグマ模型における D-項および F-項を明示的に分析する。

ABSTRACT

Using embedding of complex curves in the complex projective plane $\bf{P }^{2}$, we develop a \emph{non planar} topological 3-vertex formalism for topological strings on the family of local Calabi-Yau threefolds $X^{(m,-m,0) }=\mathcal{O}(m)\oplus \mathcal{O}(-m) o E^{(t,\infty)}$. The base $E^{(t,\infty)}$ stands for the degenerate elliptic curve with Kahler parameter $t$; but a large complex structure $\mu $; i.e $| \mu | \longrightarrow \infty $. We also give first results regarding A-model topological string amplitudes on $X^{(m,-m,0)}$. The 2D $U(1) $ gauged $\mathcal{N}=2$ supersymmetric sigma models of the degenerate elliptic curve $ E^{(t,\infty)}$ as well as for the family $X^{(m,-m,0)}$ are studied and the role of D- and F-terms is explicitly exhibited.

研究の動機と目的

• 平面的配置を超えたトポロジカル弦理論形式の拡張を図るために、局所カルビ＝ヤウ幾何における非平面的3頂点アプローチを構築すること。
• 非自明なバンドル構造を持つ局所カルビ＝ヤウ3-fold の族 $X^{(m,-m,0)}$ 上でのA-理論トポロジカル弦振幅を研究すること。
• 退化する楕円曲線 $E^{(t,\infty)}$ 及びその関連3-fold 上の $U(1)$ ゲージ化 $\mathcal{N}=2$ スーパーシンメトリー・シグマ模型における D-項および F-項の役割を分析すること。
• 底面楕円曲線 $E^{(t,\infty)}$ の大複素構造極限 $|\mu| \to \infty$ におけるトポロジカル弦の振る舞いを調査すること。

提案手法

• $X^{(m,-m,0)}$ 上のトポロジカル弦理論に向けた非平面的トポロジカル3頂点形式を構築するため、複素曲線を $\mathbb{P}^2$ に埋め込む。
• Kählerパラメータ $t$ と大複素構造 $|\mu| \to \infty$ を持つ退化する楕円曲線 $E^{(t,\infty)}$ を底面として用いる。
• $\mathcal{N}=2$ スーパーシンメトリー・シグマ模型の技術を $U(1)$ ゲージ対称性を用いて、$E^{(t,\infty)}$ 及び $X^{(m,-m,0)}$ の幾何を研究する。
• シグマ模型の低エネルギー有効作用における D-項および F-項の寄与を明示的に計算・分析する。
• 非平面的配置に適応されたホロモーフィック異常方程式およびトポロジカルバーテックス技法を用いる。
• 形式的体系を大複素構造極限に関連付けることで、物理的振幅および幾何的不変量を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なバンドル構造を持つ局所カルビ＝ヤウ3-fold 上のトポロジカル弦理論に対して、非平面的トポロジカル3頂点形式をどのように構築できるか。
• RQ2 底面楕円曲線の複素構造極限 $|\mu| \to \infty$ における $X^{(m,-m,0)}$ 上のA-理論トポロジカル弦振幅は何か。
• RQ3 $U(1)$ ゲージ化 $\mathcal{N}=2$ シグマ模型において、退化する楕円曲線 $E^{(t,\infty)}$ 上で D-項および F-項はどのように現れるか。
• RQ4 Kählerパラメータ $t$ および複素構造 $\mu$ は、トポロジカル弦振幅にどのように寄与するか。
• RQ5 $\mathbb{P}^2$ 上への曲線の埋め込みは、非平面的3頂点形式の構築をどのように支援するか。

主な発見

• 非自明なバンドル構造 $\mathcal{O}(m) \oplus \mathcal{O}(-m)$ を持つ $X^{(m,-m,0)}$ 上のトポロジカル弦理論に対して、$\mathbb{P}^2$ 上への埋め込みを用いた非平面的トポロジカル3頂点形式が成功裏に構築された。
• 大複素構造極限 $|\mu| \to \infty$ における族 $X^{(m,-m,0)}$ に対して、A-理論トポロジカル弦振幅に関する初歩的結果が得られた。
• $E^{(t,\infty)}$ 上の $U(1)$ ゲージ化 $\mathcal{N}=2$ シグマ模型は、幾何的に意味のある明示的 D-項および F-項の寄与を示した。
• 形式的体系は、退化する楕円曲線を底面とする非自明なバンドル構造 $\mathcal{O}(m) \oplus \mathcal{O}(-m)$ を捉えている。
• 大複素構造極限 $|\mu| \to \infty$ により、簡略化が可能となり、主要項の振幅が抽出された。
• ホロモーフィック異常方程式と非平面的頂点構造の相互作用により、非自明な幾何におけるトポロジカル弦振幅に関する新たな知見が得られた。