[論文レビュー] Topological Superconductors and Category Theory

B. Andrei Bernevig, Titus Neupert|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Topological Materials and Phenomena被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2次元系におけるトポロジカルオーダーの分類のための枠組みとしてカテゴリー理論を用いて、トポロジカル超伝導体の教育的導入を提供する。任意onsの統計、融合則、モジュラー行列を分析することで、キタエフのトポロジカル超伝導体の16重分類を導出し、メイジョラナ零モードのトポロジカルスピンが $ heta_\sigma = e^{2\pi i \, \mathsf{C}^{(1)}/16}$ として量子化されることを示し、ここで $τ^{(1)}$ はチェーン数である。これにより16の異なるトポロジカル位相が得られる。

ABSTRACT

We give a pedagogical introduction to topologically ordered states of matter, with the aim of familiarizing the reader with their axiomatic topological quantum field theory description. We introduce basic noninteracting topological phases of matter protected by symmetries, including the Su-Schrieffer-Heeger model and the one-dimensional p-wave superconductor. The defining properties of topologically ordered states are illustrated explicitly using the toric code and - on a more abstract level - Kitaev's 16-fold classification of two-dimensional topological superconductors. Subsequently, we present a short review of category theory as an axiomatic description of topological order in two-dimensions. Equipped with this structure, we revisit Kitaev's 16-fold way.

研究の動機と目的

• 公理的トポロジカル量子場理論を用いて、特にトポロジカル超伝導体を理解するための教育的基盤を提供すること。
• 10重分類による非相互作用トポロジカル位相の分類と、相互作用下での $\mathbb{Z}_8$ への精緻化を導入すること。
• 融合と braiding のカテゴリーに焦点を当て、カテゴリー理論をトポロジカルオーダーを記述する数学的枠組みとして確立すること。
• F-移動、S行列とT行列、およびヴェルリンドの公式を含むカテゴリカル構造を用いて、キタエフの16重分類を再導出し、解釈すること。
• トポロジカル不変量（例：チェーン数 $\mathsf{C}^{(1)}$）がどのようにトポロジカル超伝導位相の任意ons統計とモジュラーデータを決定するかを示すこと。

提案手法

• トポロジカルオーダーとメイジョラナ零モードを説明する代表的なモデルとして、トーリックコードとキラル p 波超伝導体を用いる。
• ホモトピー理論と K 理論を適用して、時間反転対称性および粒子-ホール対称性に注目しながら、非相互作用フェルミオンハミルトニアンを10重分類により分類する。
• F-移動と五角形方程式を用いて任意ons統計を記述する融合カテゴリを定義し、正規化条件によるゲージ自由度の固定を行う。
• 融合則からモジュラー S 行列と T 行列を計算し、ヴェルリンドの公式を用いてトポロジカルスピンと量子次元を抽出する。
• 16重分類の3つのケースを分析する：$\mathsf{C}^{(1)}$ が奇数、$\mathsf{C}^{(1)} = 2 \mod 4$、$\mathsf{C}^{(1)} = 0 \mod 4$。それぞれが異なる任意ons統計とモジュラーデータをもたらす。
• メイジョラナ任意onsのトポロジカルスピンの量子化 $\theta_\sigma^8 = \theta_\psi^3 = -1$ を導出し、$\mathsf{C}^{(1)}$ が奇数のとき $\theta_\sigma = e^{2\pi i \, \mathsf{C}^{(1)}/16}$ が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリー理論とトポロジカル量子場理論を用いて、どのようにトポロジカル超伝導体を分類できるか？
• RQ2 2次元トポロジカル超伝導体における渦の任意ons統計を決定づけるチェーン数 $\mathsf{C}^{(1)}$ の役割は何か？
• RQ3 融合則とモジュラー行列（S と T）は、キタエフの16重分類における16の異なるトポロジカル位相をどのように分類するか？
• RQ4 メイジョラナ零モードのトポロジカルスピン $\theta_\sigma = e^{2\pi i \, \mathsf{C}^{(1)}/16}$ の物理的意味は何か？
• RQ5 キラル p 波超伝導体の積み重ねは、$\mathsf{C}^{(1)} \mod 4$ に応じてどのように異なる任意ons位相を生じるか？

主な発見

• メイジョラナ任意onsのトポロジカルスピンは $\theta_\sigma = e^{2\pi i \, \mathsf{C}^{(1)}/16}$ として量子化され、$\mathsf{C}^{(1)}$ が奇数のとき、8つの異なる位相が得られる。
• $\mathsf{C}^{(1)} = 2 \mod 4$ の場合、トポロジカルスピン $\theta_a = \theta_{\tilde{a}} = e^{2\pi i \, \mathsf{C}^{(1)}/16}$ を持つアーベル的任意ons $a$ と $\tilde{a}$ が存在し、4つの可能な理論が得られる。
• $\mathsf{C}^{(1)} = 0 \mod 4$ の場合、任意ons $e$、$m$、$f$ はトーリックコードの融合則を実現し、$S$ 行列は2通りの形をとり、4つの異なる位相が得られる。
• 16重分類は、モジュラーデータ（$S$ 行列と $T$ 行列）を分析することで完全に回復され、ヴェルリンドの公式により量子次元とトポロジカルスピンが結びつけられる。
• $2\pi$ フレックス $\psi$ のトポロジカルスピンは $\theta_\psi = -1$ であり、これによりメイジョラナスピンが $\theta_\sigma^8 = -1$ を満たすことが制約され、16重構造が確認される。
• すべてのケースにおいて一貫性がある：$\mathsf{C}^{(1)} = 1, 3, \dots, 15$ のとき $\theta_\sigma = e^{2\pi i \, \mathsf{C}^{(1)}/16}$ が成り立ち、16の異なるトポロジカル超伝導位相をカバーする。