[論文レビュー] Topological toric manifolds

Hiroaki Ishida, Yukiko Fukukawa+1 more|Osaka City University (Osaka City University)|Dec 8, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、滑らかな $(\mathbb{C}^*)^n$-作用と開かつ稠密な軌道、局所的等変自明性を備えたことで定義される、トーリック多様体の新しい位相的類似物としてトポロジカルトーリック多様体を導入する。これは、トーリック多様体とクェーシトーリック多様体を一般化するものであり、$S^1$-トーラス作用の代わりに$\mathbb{C}^*$-トーラス作用を用いる。完全非特異的位相的ファンとオムニオリエンテッドなトポロジカルトーリック多様体の間の全単射を確立する。

ABSTRACT

We introduce the notion of a topological toric manifold and a topological fan and show that there is a bijection between omnioriented topological toric manifolds and complete non-singular topological fans. A topological toric manifold is a topological analogue of a toric manifold and the family of topological toric manifolds is much larger than that of toric manifolds. A topological fan is a combinatorial object generalizing the notion of a simplicial fan in toric geometry. Prior to this paper, two topological analogues of a toric manifold have been introduced. One is a quasitoric manifold and the other is a torus manifold. One major difference between the previous notions and topological toric manifolds is that the former support a smooth action of an $S^1$-torus while the latter support a smooth action of a $\C^*$-torus. We also discuss their relation in details.

研究の動機と目的

• トーリック多様体の新しい位相的類似物を定義し、$\mathbb{C}^*$-トーラス作用を用いることで、トーリック多様体とクェーシトーリック多様体の両方を一般化する。
• トーリック幾何における単体的ファンの組合せ的一般化としての位相的ファンの概念を導入する。
• オムニオリエンテッドなトポロジカルトーリック多様体と完全非特異的位相的ファンの間の分類定理を確立する。
• トポロジカルトーリック多様体と、クェーシトーリック多様体やトーラス多様体といった以前の概念との違いを、特に群作用と幾何的構造の観点から明確にする。

提案手法

• 次を満たす閉じた滑らかな多様体としてトポロジカルトーリック多様体を定義する：次元$2n$、$(\mathbb{C}^*)^n$による有効な滑らかな作用、開かつ稠密な軌道、作用に関する局所自明性。
• 位相的ファンを、単体的複体$\Sigma$とその頂点に整数ベクトルを割り当てる写像$\beta$の組$(\Sigma, \beta)$として定義する。非特異性および完全性の条件を満たすものとする。
• すべてのオムニオリエンテッドなトポロジカルトーリック多様体が一意的な完全非特異的位相的ファンから生じ、逆にその逆も成り立つことを証明し、全単射を確立する。
• 星型分割とススペンション構成を用いて、トポロジカルトーリック多様体の基礎となる単体的複体が、これらの位相的操作に関して閉じていることを示す。
• 四色定理とmod 2ベクトル還元の議論を適用し、例えば次元$n \geq 4$かつ頂点数$m \geq 2^n$である巡回多面体$C^n(m)$の境界複体のような特定の単体的複体が、トポロジカルトーリック多様体の基礎複体として実現できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体の正しい位相的類似物とは何か？ それはトーリック多様体とクェーシトーリック多様体の両方を一般化する。
• RQ2 単体的ファンの一般化としての組合せ的対象（位相的ファン）が、どのようにトポロジカルトーリック多様体を分類できるか？
• RQ3 この位相的設定において、$(\mathbb{C}^*)^n$-作用が$(S^1)^n$-作用よりも自然であるのはなぜか？
• RQ4 どの単体的複体がトポロジカルトーリック多様体の基礎複体として現れるか？
• RQ5 与えられた単体的複体がトポロジカルトーリック多様体の基礎複体として実現可能でない障害は何か？

主な発見

• オムニオリエンテッドなトポロジカルトーリック多様体と完全非特異的位相的ファンの間には全単射の対応が存在し、完全な分類が得られる。
• トポロジカルトーリック多様体は、滑らかな$(\mathbb{C}^*)^n$-作用、開かつ稠密な軌道、局所自明性によって定義され、クェーシトーリック多様体やトーラス多様体が使用する$(S^1)^n$-作用とは明確に区別される。
• 非特異性条件におけるmod 2ベクトルの衝突のため、$n \geq 4$かつ$m \geq 2^n$のとき、巡回多面体$C^n(m)$の境界複体は、トポロジカルトーリック多様体の基礎単体的複体にはなりえない。
• 星型分割は、トポロジカルトーリック多様体の基礎単体的複体である性質を保ち、ススペンション操作についても同様の性質が成り立つ。
• 単体的複体$\Sigma$のススペンションがトポロジカルトーリック多様体の基礎複体であるための必要十分条件は、$\Sigma$自身がその性質を持つことである。これは$\mathbb{C}P^1$との積を用いて示される。
• 四色定理により、3次元多面体の1次元骨格の頂点に整数ベクトルを割り当て、隣接する頂点が異なるベクトルを持つようにできる。これにより、次元3における完全非特異的位相的ファンを構成可能となる。