[論文レビュー] Topological Transformation Monoids

Zachary Mesyan, James D. Mitchell+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限集合 Ω の全変換モノイド Ω^Ω 上の半群位相を調査し、点位相が最も弱いハウスドルフ半群位相であり、Ω が可算である場合には一意のポーランド半群位相であることを確立している。さらに、|Ω| が非可算な余有限性を持つ場合、Ω^Ω 上に局所コンパクトで完全なハウスドルフ半群位相は存在しないことを示している。

ABSTRACT

We investigate semigroup topologies on the full transformation monoid T(X) of an infinite set X. We show that the standard pointwise topology is the weakest Hausdorff semigroup topology on T(X), show that the pointwise topology is the unique Hausdorff semigroup topology on T(X) that induces the pointwise topology on the group of all permutations of X, and construct |X| distinct Hausdorff semigroup topologies on T(X). In the case where X is countable, we prove that the pointwise topology is the only Polish semigroup topology on T(X). We also show that every separable semigroup topology on T(X) is perfect, describe the compact sets in an arbitrary Hausdorff semigroup topology on T(X), and show that there are no locally compact perfect Hausdorff semigroup topologies on T(X) when |X| has uncountable cofinality.

研究の動機と目的

• 無限集合 Ω に対して、全変換モノイド Ω^Ω 上の最も弱いハウスドルフ半群位相を特定すること。
• 点位相が、対称群 Sym(Ω) 上に点位相を誘導する唯一の半群位相であるという一意性を特徴づけること。
• Ω^Ω 上のポーランド、分離可能、および局所コンパクトな半群位相の存在と構造を調査すること。
• ハウスドルフ半群位相におけるコンパクト集合や、完全性、余有限性の制約といった位相的性質を分析すること。

提案手法

• 対称群におけるGaughanの結果の一般化により、点位相が Ω^Ω 上の最も弱い T_1（したがってハウスドルフ）半群位相であることを確立する。
• 任意の T_1 半群位相が点位相を含むことを利用し、既知の位相的性質との比較を可能にする。
• カントール＝ベンディクソンの定理と余有限性の議論を用いて、T_1 半群位相におけるコンパクト性と局所コンパクト性を分析する。
• 完全な T_1 位相では、コンパクト集合 X に対して、Σ_α = (α)X の像集合が有限でなければならないことが示され、非可算な余有限性の下で矛盾が生じる。
• 特定の位相的構成を用いて、|Ω| 個の異なるハウスドルフ半群位相を Ω^Ω 上に構成する。
• 半位相的半群の構造と、稠密でない集合の性質を用いて、コンパクト集合や位相の基底に関する制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点位相は Ω^Ω 上の最も弱いハウスドルフ半群位相か？
• RQ2 点位相は、Sym(Ω) 上に点位相を誘導する Ω^Ω 上の唯一のハウスドルフ半群位相か？
• RQ3 Ω が可算であるとき、点位相以外に Ω^Ω 上にポーランド半群位相が存在するか？
• RQ4 |Ω| が非可算な余有限性を持つ場合、Ω^Ω 上に局所コンパクトで完全なハウスドルフ半群位相が存在するか？
• RQ5 任意のハウスドルフ半群位相におけるコンパクト集合の構造的制約は何か？

主な発見

• 点位相は、Ω^Ω 上の最も弱い T_1（したがってハウスドルフ）半群位相であり、ランク1および2の元を含む任意の部分半群において成り立つ。
• 点位相は、Sym(Ω) 上に点位相を誘導する唯一の T_1 半群位相であり、対称群におけるGaughanの結果を一般化する。
• Ω が可算であるとき、点位相は Ω^Ω 上の唯一のポーランド半群位相であり、ポーランド構造の一意性を示唆する。
• Ω^Ω 上の任意の分離可能な半群位相は完全である。つまり、任意の非空開集合の閉包は内点をもつ。
• 任意のハウスドルフ半群位相において、コンパクト集合は閉であり、すべての α ∈ Ω に対して |αX| < ℵ_0 を満たす。これは、各点が集合の作用で有限の像を持つことを意味する。
• |Ω| が非可算な余有限性を持つ場合、Ω^Ω 上に局所コンパクトで完全なハウスドルフ半群位相は存在しない。これは、像集合と余有限性の制約を含む矛盾によって示される。