[論文レビュー] Topological transitions in Ising models

Somenath Jalal, Rishabh Khare+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、1次元横磁場イジング模型（TFIM）の普遍的有効ハミルトニアンを通じて、次元を超えた臨界イジング模型のホログラフィックな接続を確立し、その臨界点がフェルミ面位相空間の変化とトポロジカルな量子数のシフト（例えば、チーン数）を特徴とするリーフシッツ遷移を宿していることを明らかにした。この遷移はトゥースルース電荷ポンピングによって探索され、発現するSU(2)対称性とトポロジカル不変量によって同定され、ギンツブルグ＝ランダウ＝ウィルソンの枠組みを越えて、古典的・量子的・格子ゲージ理論を含む包括的な理論に拡張される。

ABSTRACT

The thermal dynamics of the two-dimensional Ising model and quantum dynamics of the one-dimensional transverse-field Ising model (TFIM) are mapped to one another through the transfer-matrix formalism. We show that the fermionised TFIM undergoes a Fermi-surface topology-changing Lifshitz transition at its critical point. We identify the degree of freedom which tracks the Lifshitz transition via changes in topological quantum numbers (e.g., Chern number, Berry phase etc.). An emergent $SU(2)$ symmetry at criticality is observed to lead to a topological quantum number different from that which characterises the ordered phase. The topological transition is also understood via a spectral flow thought-experiment in a Thouless charge pump, revealing the bulk-boundary correspondence across the transition. The duality property of the phases and their entanglement content are studied, revealing a holographic relation with the entanglement at criticality. The effects of a non-zero longitudinal field and interactions that scatter across the singular Fermi surface are treated within the renormalisation group (RG) formalism. The analysis reveals that the critical point of the 1D TFIM and the 1D spin-1/2 Heisenberg chain are connected via a line of $SU(2)$-symmetric theories. We extend our analysis to show that the classical to quantum correspondence links the critical theories of Ising models in various dimensions holographically through the universal effective Hamiltonian that describes the Lifshitz transition of the 1D TFIM. We obtain in this way a unified perspective of transitions in Ising models that lie beyond the traditional Ginzburg-Landau-Wilson paradigm. We discuss the consequences of our results for similar topological transitions observed in classical spin models, topological insulators, superconductors and lattice gauge-field theories which are related to the Ising universality class.

研究の動機と目的

• ギンツブルグ＝ランダウ＝ウィルソンのパラダイムを超えたイジング模型における相転移の統一的枠組みを確立すること。
• スペクトルフローとチーン数などのトポロジカル不変量を用いて、1次元横磁場イジング模型（TFIM）におけるトポロジカル遷移を同定すること。
• 1次元TFIMの普遍的有効ハミルトニアンを通じて、1次元、2次元、3次元イジング模型の臨界理論のホログラフィックな等価性を示すこと。
• 臨界状態における発現的SU(2)対称性とトポロジカル秩序の役割、特にエンタングルメントと双対性の性質を明らかにすること。
• 結果を古典的イジング模型、トポロジカル絶縁体、格子ゲージ理論に拡張し、共通のトポロジカル特徴を明らかにすること。

提案手法

• 転送行列形式を用いて、2次元古典的イジング模型を1次元量子TFIMに写像すること。
• 1次元TFIMをフェルミオン化することで、質量のあるディラックフェルミオンの記述を明らかにし、臨界状態におけるフェルミ面位相空間の変化を同定すること。
• 2つのトーラス上でのトゥースルース断熱的電荷ポンピングを適用し、バルク-境界対応と異常な電荷輸送を調べること。
• 縮重群（RG）形式を用いて、縦磁場の効果と特異的フェルミ面での散乱の影響を分析すること。
• チーン数やベリー位相などのトポロジカル不変量を、フェルミオンスペクトルにおけるリーフシッツ遷移の指標として特定すること。
• 1次元TFIMの普遍的有効ハミルトニアンを通じて、1次元、2次元、3次元イジング模型の臨界理論のホログラフィック関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元横磁場イジング模型の臨界点では、フェルミ面位相空間の変化を伴うリーフシッツ遷移がどのように現れるか？
• RQ2 チーン数、ベリー位相などのトポロジカルな量子数は、遷移をどのように示し、秩序相と臨界相でどのように異なるか？
• RQ3 臨界状態における発現的SU(2)対称性は、秩序相とは異なったトポロジカル不変量をどのように導くか？
• RQ4 トゥースルース電荷ポンピングは、リーフシッツ遷移に跨るバルク-境界対応をどのように明らかにするか？
• RQ5 1次元TFIMの普遍的有効ハミルトニアンを通じて、異なる次元におけるイジング模型の臨界理論はどのようにホログラフィックに関係しているか？

主な発見

• 1次元TFIMは、フェルミオン化された記述におけるフェルミ面の位相空間の変化を特徴とするリーフシッツ遷移を臨界状態で経験する。
• 遷移は、臨界状態で非ゼロのチーン数を示すトポロジカルな量子数の変化によって追跡され、秩序相とは明確に異なる。
• 臨界点における発現的SU(2)対称性は、秩序相とは異なったトポロジカル不変量を生じさせ、新たな普遍性クラスを示唆する。
• トゥースルース電荷ポンピングにより、遷移に跨るバルク-境界対応が明らかになり、量子化された電荷輸送がチーン数と関連している。
• 1次元TFIMの臨界理論は、普遍的有効ハミルトニアンを通じて、2次元TFIM、3次元イジング模型、2次元量子イジング格子ゲージ理論の臨界理論とホログラフィックに関係づけられる。
• 2次元TFIMは、トポロジカルと非トポロジカルな超伝導相の間、およびギャップレス・ウェイルストライプ金属を介する2つのトポロジカル超伝導相の間で、ウェイル半金属的リーフシッツ遷移を示す。