[論文レビュー] Topological Triviality of Families of Singular Surfaces

R. Callejas-Bedregal, Kevin Houston+1 more|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、一パラメータ族の $\sigma$-有限型写像芽 $f_t: (\mathbb{C}^2,0) \to (\mathbb{C}^3,0)$ に対して、位相的自明性が二重点集合 $D^2(f_t)$ のミルナー数 $\mu(D^2(f_t))$ の定数性と同値であることを確立する。主な結果は、$\mu(D^2(f_t))$ が定数であることから位相的自明性が従い、さらにこの条件はホイットニーの等奇性およびリプシッツ自明性と同値であることを示しており、$\mathbb{C}^3$ 内の特異的曲面に対してリーラマヌジャム型定理を拡張する。証明は、制御されたベクトル場とマクシェーンの拡張定理を用い、二重点集合の等奇性性質を通じてリプシッツ自明化を構成する。

ABSTRACT

We study the topological triviality of families of singular surfaces in ${\mathbb C}^3$ parametrized by $\mathcal A$-finitely determined map germs. We prove that the constancy of the Milnor number of the double point locus characterizes the topological triviality of the family.

研究の動機と目的

• 一パラメータ族の $\mathcal{A}$-有限型写像芽 $f_t: (\mathbb{C}^2,0) \to (\mathbb{C}^3,0)$ における不変量 $T(f_t)$, $C(f_t)$, および $\mu(D^2(f_t))$ の定数性が位相的自明性を意味するかを同定すること。
• 特異的曲面に対するリーラマヌジャム型定理を、$\mu(D^2(f_t))$ の定数性が位相的自明性を意味することを示すことによって確立すること。
• このような族に対して、位相的自明性、ホイットニーの等奇性、およびリプシッツ自明性の同値性を証明すること。
• 二重点集合 $D^2(F)$ を通じて、平面上の曲線の等奇性理論を特異的曲面へ拡張すること。

提案手法

• $\mu(D^2(f_t))$ の定数性が $F$ が優れた写像（excellent）であることを示し、したがってトムの層化写像となることを証明し、制御されたベクトル場による自明化が可能になることを示す。
• T. Gaffney の優れた展開の理論を用い、源と像における安定型を用いて $F$ の層化を構成する。
• 層化の各層に接する制御されたベクトル場を統合し、位相的自明化を達成する。
• $S_2$-作用の下での平均化を用い、二重点集合 $D^2(F)$（これは非特異的平面上の曲線族）から全空間 $\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}$ へベクトル場を上昇させる。
• マクシェーンの拡張定理を適用し、$D^2(F)$ から $\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}$ へリプシッツベクトル場を拡張し、リプシッツ自明化を保証する。
• 非特異的平面上の曲線における位相的、ホイットニー的、リプシッツ的自明性の同値性を用い、これらの性質を曲面族へと移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一パラメータ族の $\mathcal{A}$-有限型写像芽 $f_t: (\mathbb{C}^2,0) \to (\mathbb{C}^3,0)$ に対して、$\mu(D^2(f_t))$ の定数性は位相的自明性を意味するか？
• RQ2 このような族の位相的自明性はホイットニーの等奇性およびリプシッツ自明性と同値か？
• RQ3 平面上の曲線の等奇性理論を用いて、$\mathbb{C}^3$ 内の特異的曲面の等奇性性質を導けるか？
• RQ4 二重点集合 $D^2(F)$ は、展開 $F$ の等奇性をどの程度制御するか？

主な発見

• $0$ の近傍における $t$ に対して $\mu(D^2(f_t))$ が定数であることは、展開 $F$ の位相的自明性を意味する。
• $\mathcal{A}$-有限型写像芽の $\mathbb{C}^3$ 内の特異的曲面に対して、$F$ の位相的自明性はホイットニーの等奇性およびリプシッツ自明性と同値である。
• 二重点集合 $D^2(F)$ は非特異的平面上の曲線族として、位相的、ホイットニー的、リプシッツ的自明性の同値性を含む、平面上の曲線の完全な等奇性理論を備えている。
• 自明化ベクトル場の構成は、二重点集合上のベクトル場を上昇・平均化し、マクシェーンの定理を用いてリプシッツ正則性を保証する形で拡張することに依存する。
• 証明により、$\mu(D^2(f_t))$ の定数性は $F$ が優れていることを示し、したがって制御されたベクトル場による自明化が可能であることが示された。
• 系として、原点における多重度 $m_0(f_t)$ は位相的自明性のもとで一定のままである。