[論文レビュー] Topological Triviality of $\mu$-constant Deformations of Type f(x) + tg(x)

Adam Parusiński|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 1997

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、形式 F(x,t) = f(x) + tg(x) の孤立型超曲面特異点の µ-定数変形が、実数および複素数の両方の分野で位相的に自明であることを証明する。曲線選択補題を用い、家族を自明化する明示的なベクトル場を構成することで、やや弱い解析的条件下でも位相的自明性を確立し、複素多項式の無限遠における特異点への応用を含む。

ABSTRACT

We show that every $\mu$-constant family of isolated hypersurface singularities of type f(x) + tg(x), where t is a parameter, is topologically trivial. In the proof we construct explicitely a vector field trivializing the family. The proof uses only the curve selection lemma and hence, for an appropriately translated statement, also works over the reals. Some applications to the study of singularities at infinity of complex polynomials are given.

研究の動機と目的

• 複素数または実数の両方の分野で、F(x,t) = f(x) + tg(x) の形をした孤立型超曲面特異点の µ-定数家族の位相的自明性を確立すること。
• h-コボルディズム定理のような高度な位相的道具を用いずに、曲線選択補題を用いた純粋な解析的で初等的な位相的自明性の証明を提供すること。
• 曲線選択補題に依存するのみで、実解析的および o-最小的構造への応用を可能にする。
• 複素多項式の無限遠における特異点の研究にこの結果を応用し、特に Malgrange 条件と消失サイクルの関係を明らかにすること。

提案手法

• F⁻¹(0) 上に、t 成分が ∂t で、g の等高線に接する、g⁻¹(0) でない点で滑らかなベクトル場 ⃗v を構成する。
• X\g⁻¹(0) 上で、⃗v = ∂t − (|∂x g|² / ∆) ḡ ∂x f + (⟨∂x f, ∂x g⟩ / ∆) ḡ ∂x g を定義する。ここで ∆ = |∂x f|²|∂x g|² − |⟨∂x f, ∂x g⟩|² である。
• 曲線選択補題から導かれる Lojasiewicz 型不等式を用いて、(x,t) → g⁻¹(0) ∩ F⁻¹(0) のとき |⃗v − ∂t| → 0 を証明する。
• F を関数として自明化するための第二のベクトル場 ⃗w = ∂t − (ḡ / |∂x F|²) ∂x F を導入し、|x| による制御でフローの連続性を保証する。
• 分区関数を用いて ⃗v と ⃗w を貼り合わせ、原点の近傍に定義されたグローバルなベクトル場 ⃗V を定義し、フローの連続性を保証する。
• 無限遠における特異点の研究に応用するため、同次化と座標変換を用いて問題を f(x) + tg(x) のタイプの局所的変形に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F(x,t) = f(x) + tg(x) の形をしたすべての µ-定数変形は、位相的に自明であるか？
• RQ2 h-コボルディズム定理のような深い位相的定理に依存せず、曲線選択補題のような初等的な解析的道具のみで、位相的自明性を確立できるか？
• RQ3 (x,t) → (0,0) のとき |g(x)| ≪ |∂F(x,t)| という条件は、家族の位相的自明性とどのように関係するか？
• RQ4 位相的自明性に関する結果は、実解析的または o-最小的構造へ拡張可能か？
• RQ5 複素多項式の無限遠における Malgrange 条件と消失サイクル条件との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 定理 0.1 は、(x,t) → (0,0) のとき |g(x)| ≪ |∂F(x,t)| ならば、F(x,t) = f(x) + tg(x) が t 軸に沿って位相的に自明であることを確立する。
• 系 2.1 は、F(x,t) = f(x) + tg(x) の形をした任意の µ-定数家族の孤立特異点が位相的に自明であることを確認する。
• 証明は曲線選択補題と Lojasiewicz 型不等式にのみ依存しており、実解析的および o-最小的設定にも適用可能である。
• X\g⁻¹(0) 上に構成されたベクトル場 ⃗v は、(x,t) → g⁻¹(0) ∩ F⁻¹(0) のとき |⃗v − ∂t| → 0 を満たし、フローの連続性を保証する。
• ⃗v と ⃗w を分区関数を用いて貼り合わせることで、グローバルなベクトル場 ⃗V を得られ、そのフローは連続である。これにより、X および F の位相的自明性が証明される。
• 従来の定理 3.1 の無限遠における特異点に関する証明を簡略化し、Malgrange 条件 (3.1) が消失サイクルの不在と同値であることを、系 1.3 の直接的応用により示した。