[論文レビュー] Topologies of Stochastic Markov Models: Computational Aspects

Giorgio Bacci, Giovanni Bacci+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形リアルタイム仕様（Metric Temporal Logic (MTL) や Deterministic Timed Automata (DTA) で表現）に対する類似度の違いを測る2つの行動的距離を、確率的マルコフモデル（SMMs）に対して導入する。正確な変動距離の計算はNP困難であることが示され、しかし弱い分布的仮定の下で多項式時間で計算可能なKantorovichに基づく上界近似が提案され、これにより効率的な近似モデル検証が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we propose two behavioral distances that support approximate reasoning on Stochastic Markov Models (SMMs), that are continuous-time stochastic transition systems where the residence time on each state is described by a generic probability measure on the positive real line. In particular, we study the problem of measuring the behavioral dissimilarity of two SMMs against linear real-time specifications expressed as Metric Temporal Logic (MTL) formulas or Deterministic Timed-Automata (DTA). The most natural choice for such a distance is the one that measures the maximal difference that can be observed comparing two SMMs with respect to their probability of satisfying an arbitrary specification. We show that computing this metric is NP-hard. In addition, we show that any algorithm that approximates the distance within a certain absolute error, depending on the size of the SMMs, is NP-hard. Nevertheless, we introduce an alternative distance, based on the Kantorovich metric, that is an over-approximation of the former and we show that, under mild assumptions on the residence time distributions, it can be computed in polynomial time.

研究の動機と目的

• リアルタイム仕様に基づく近似的推論を可能にする連続時間確率的システムの行動的メトリクスの定義。
• SMMsにおける行動的相違度の測定の計算複雑性の分析（MTLおよびDTA仕様に関して）。
• 正確な変動距離の扱いやすい上界近似の開発（多項式時間で計算可能）。
• 1-RDTA仕様を用いたモデル検証結果の近似の理論的基盤の確立。
• 離散時間マルコフ連鎖における固定点および線形計画法の技術を連続時間SMMsに拡張すること。

提案手法

• 正の実数直線上に一般化された滞在時間分布を有するStochastic Markov Models (SMMs) を導入し、CTMC や離散時間MCを一般化する。
• 線形リアルタイム仕様全体において満たされる確率の最大差を測る2つの擬距離（MTLおよびDTA変動距離）を定義する。
• 正確な変動距離がMTLおよびDTA仕様に関して一致し、1-RDTA仕様によって完全に特徴づけられることを証明する。
• 正確な変動距離の上界近似としてKantorovichに基づく固定点距離を提案する。
• 楕円体法を用いて、輸送問題を解くことで多項式時間の分離オракルを持つ線形計画問題にKantorovich距離の計算問題を還元する。
• 輸送多面体と頂点列挙を活用し、Kantorovich定式化における最適カップリングを効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SMM間の正確な行動的変動距離の計算はNP困難であるか？
• RQ2 固定された絶対誤差内で多項式時間で変動距離を近似できるか？
• RQ3 Kantorovichに基づく距離は正確な変動距離の扱いやすい上界近似を提供するか？
• RQ4 1-RDTA仕様は、MTLまたはDTA仕様によって生成されるσ代数に属する任意の可測な時刻付きパス集合を近似できるか？
• RQ5 どのような分布的仮定のもとでKantorovich距離は多項式時間で計算可能になるか？

主な発見

• 正確なMTLおよびDTA変動距離の計算は、Max Clique問題への還元により、固定された絶対誤差内ですらNP困難である。
• MTLおよびDTA仕様に関して変動距離は一致し、生成されたσ代数において稠密な1-RDTA仕様によって完全に決定される。
• Kantorovichに基づく固定点距離は正確な変動距離の上界近似であり、楕円体法を用いて多項式時間で計算可能である。
• Kantorovich距離の線形計画問題定式化は、輸送問題を解くことで多項式時間の分離オラクルを持つ。
• 滞在時間分布に関する弱い仮定の下で、固定点双模倣技術を離散時間MCから連続時間SMMsに拡張可能である。
• 提案手法により、単一クロックDTAの効率的アルゴリズムを活用してCTMCの効率的な近似モデル検証が可能になる。