[論文レビュー] Topologies on the group of homeomorphisms of a Cantor set

Sergey Bezuglyi, A. H. Dooley+1 more|ArXiv.org|Oct 23, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、カントール集合の同相群における一様および弱位相を調査し、弱位相における最小同相写像の集合の閉包がオドメータの集合の閉包に一致すること、および一様位相における任意の非周期的同相写像がオドメータの集合の閉包内にあることを確立している。結果として、ロホリンの補題の位相的類似形が得られ、クロージャの性質が閉集合の挙動によって特徴づけられる。

ABSTRACT

Let $Homeo(Ω)$ be the group of all homeomorphisms of a Cantor set $Ω$. We study topological properties of $Homeo(Ω)$ and its subsets with respect to the uniform $(τ)$ and weak $(τ_w)$ topologies. The classes of odometers and periodic, aperiodic, minimal, rank 1 homeomorphisms are considered and the closures of those classes in $τ$ and $τ_w$ are found.

研究の動機と目的

• カントール集合 $\Omega$ 上の同相写像群 $Homeo(\Omega)$ の一様 ($\tau$) および弱 ($\tau_w$) 位相における位相的性質を研究すること。
• 周期的、非周期的、最小的、位相的トランスティティブ、ランク1、およびオドメータ同相写像といった主要な力学的クラスの $\tau$ および $\tau_w$ における閉包を特定すること。
• 最小的および非周期的同相写像に対して、両位相におけるロホリンの補題の位相的類似形を確立すること。
• 閉集合の性質を閉集合上での力学的条件によって特徴づけることにより、最小的同相写像の $\tau_w$-閉包を特徴づけること。

提案手法

• 一様位相 $\tau$ を $Homeo(\Omega)$ 上の一様収束の位相として定義し、弱位相 $\tau_w$ を $W(T;F_1,\dots,F_k) = \{S \in Homeo(\Omega) \mid SF_i = TF_i \text{ for all } i\}$ で生成される位相とする。ここで $F_i$ は閉開集合である。
• 弱位相 $\tau_w$ が閉開集合上の一様収束の位相に一致することを用い、これは 0 次元のポーランド空間であることを示す。
• 非周期的同相写像に対して、測度近似を伴う任意の高さの有限な閉開 $T$-タワーを構成する、位相的バージョンのロホリン補題を適用する。
• 大きな閉開集合で $T$ と一致するが、残りの部分では周期的またはオドメータに類似した性質を持つ近似同相写像 $S$ を構成し、$S$ が $T$ の $\tau$-近傍内にあることを保証する。
• 測度制御（$\mu_i$-測度による基底の制御を用いて）により、任意の非周期的 $T$ が一様位相でオドメータにより近似可能であることを証明する。
• 最小的同相写像の $\tau_w$-閉包を、任意の非自明な閉開集合 $F$ に対して $TF \setminus F$ と $F \setminus TF$ がともに空でないという条件によって特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様および弱位相における $Homeo(\Omega)$ 上の周期的、非周期的、最小的、ランク1同相写像のクラスの閉包は何か？
• RQ2 一様および弱位相 $\tau$ および $\tau_w$ は、カントール集合の位相的構造とどのように関係しているか？
• RQ3 非周期的同相写像は一様位相でオドメータにより近似可能か？
• RQ4 最小的同相写像の $\tau_w$-閉包を特徴づける力学的条件は何か？
• RQ5 点별周期的同相写像の集合は弱位相 $\tau_w$ において $Homeo(\Omega)$ で稠密か？

主な発見

• 最小的同相写像の集合の $\tau_w$-閉包は、$Homeo(\Omega)$ 内でオドメータの集合の $\tau_w$-閉包に一致する。
• オドメータ、ランク1同相写像、最小的同相写像の集合の $\tau$-閉包は、すべて非周期的同相写像の集合に一致する。
• 任意の非周期的同相写像は、オドメータの集合の $\tau$-閉包内にある。これは、オドメータが非周期的集合において $\tau$-稠密であることを示している。
• 同相写像 $T$ が最小的同相写像の $\tau_w$-閉包に属するための必要十分条件は、任意の非自明な閉開集合 $F$ に対して $TF \setminus F$ と $F \setminus TF$ がともに空でないことである。
• $Homeo(\Omega)$ 上の弱位相 $\tau_w$ は 0 次元のポーランド空間であり、閉開集合の一致によって生成される位相と一致する。
• 点別周期的同相写像の集合は、弱位相 $\tau_w$ において $Homeo(\Omega)$ で稠密ではない。