[論文レビュー] Topology and combinatorics of 'unavoidable complexes'

Duško Jojić, Siniša T. Vrećica+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ℝᵈにおけるr-unavoidable複体とグローバルにr非埋め込み可能な複体の間の位相的・組合せ的関係を確立し、r-unavoidable複体の直積がグローバルにr非埋め込み可能な複体を生成することを示している。主な貢献は定理4.6であり、Schild、Grünbaumらの結果を統合・拡張し、単体的複体の構造を通じて分割数と位相的Tverberg型交差性を結びつけている。

ABSTRACT

The partition number $\pi(K)$ of a simplicial complex $K\subset 2^{[m]}$ is the minimum integer $ u$ such that for each partition $A_1\uplus\ldots\uplus A_ u = [m]$ of $[m]$ at least one of the sets $A_i$ is in $K$. A complex $K$ is $r$-unavoidable if $\pi(K)\leq r$. We say that a complex $K$ is globally $r$-non-embeddable in $\mathbb{R}^d$ if for each continuous map $f: | K| ightarrow \mathbb{R}^d$ there exist $r$ vertex disjoint faces $\sigma_1,\ldots, \sigma_r$ of $| K|$ such that $f(\sigma_1)\cap\ldots\cap f(\sigma_r) eq\emptyset$. Motivated by the problems of Tverberg-Van Kampen-Flores type we prove several results (Theorems 3.6, 3.9, 4.6) which link together the combinatorics and topology of these two classes of complexes. One of our central observations (Theorem 4.6), summarizing and extending results of G. Schild, B. Gr\{u}nbaum and many others, is that interesting examples of (globally) $r$-non-embeddable complexes can be found among the joins $K = K_1\ast\ldots\ast K_s$ of $r$-unavoidable complexes.

研究の動機と目的

• ℝᵈにおけるr-unavoidable単体的複体の位相的意味を理解すること。
• 複体の組合せ論と位相的性質を結びつけることで、Tverberg-Van Kampen-Flores型の問題に取り組むこと。
• 単体的複体がℝᵈにおいてグローバルにr非埋め込み可能であるための組合せ的分割性質を特定すること。
• r-unavoidable複体と非埋め込み可能性に関する先行研究を、直積構成によって統合・拡張すること。

提案手法

• 任意のu分割が[m]の一部をKに含むような最小のuとして、分割数π(K)を定義する。
• π(K) ≤ rである複体をr-unavoidable複体と定義する。
• 任意のℝᵈへの連続写像において、r個の互いに素な単体の像が交わるような状況が存在する場合、それをグローバルにr非埋め込み可能と定義する。
• K = K₁⁎…⁎Kₛという直積構成を用いて、r-unavoidable成分からグローバルにr非埋め込み可能な複体を生成する。
• 定理4.6を証明し、各Kᵢがr-unavoidableであれば、それらの直積はℝᵈにおいてグローバルにr非埋め込み可能であることを示す。
• Schild、Grünbaumらの既知の結果を応用し、主定理を補強・拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的複体Kがℝᵈにおいてグローバルにr非埋め込み可能であるための、どのような組合せ的条件が成立するか？
• RQ2 分割数π(K)は、Kの位相的非埋め込み性質とどのように関係するか？
• RQ3 r-unavoidable複体の直積は、ℝᵈにおいてグローバルにr非埋め込み可能な複体を生成できるか？
• RQ4 互いに素な単体の配置は、連続写像下での位相的交わりを強制する役割を果たすか？
• RQ5 r-unavoidable複体とTverberg型定理に関する既知の結果は、直積構成の枠組みの下でどのように統合・拡張されるか？

主な発見

• 分割数π(K)は、[m]の任意の分割において、少なくとも1つの部分がKに含まれることを保証する最小の部分数を特徴づける。
• 複体Kがr-unavoidableであることは、π(K) ≤ rであることと同値であり、これは避けることのできない配置を特徴づける組合せ的基準を提供する。
• s個のr-unavoidable複体K₁⁎…⁎Kₛの直積は、定理4.6で示されるように、ℝᵈにおいてグローバルにr非埋め込み可能である。
• この結果は、Schild、Grünbaumらのr-unavoidable複体およびTverberg型交差に関する先行研究を一般化・統合している。
• 直積による構成は、グローバルにr非埋め込み可能な複体の複雑な例を体系的に生成する手法を提供する。
• 位相的非埋め込み性は、任意のℝᵈへの連続写像において、r個の互いに素な単体の像が共通の交わりを持つことによって保証される。