[論文レビュー] Topology and geometry of flagness and beltness of simple orbifolds

Zhi Lü, Lisu Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純多面体から単純オルビフォールドへ「フラッグ性」と「ベルト性」の概念を一般化し、オルビフォールドのアスフィヤリティおよびオルビフォールド基本群におけるランク2の自由アーベル部分群の存在についての組合せ的特徴づけを導入する。主な結果として、単純ハンドル体がオルビフォールドアスフィヤリティであることは、かつそれがフラッグであることと同値であり、また $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 部分群を含むことは、$\boldsymbol{\text{square}}$-ベルトを含むことと同値であることが示され、3次元における右角双曲構造へPogorelovの定理を拡張する。

ABSTRACT

We consider a class of right-angled Coxeter orbifolds, named as simple orbifolds, which are a generalization of simple polytopes. Similarly to manifolds over simple polytopes, the topology and geometry of manifolds over simple orbifolds are closely related to the combinatorics and orbifold structure of simple orbifolds. We generalize the notions of flag and belt in the setting of simple polytopes into the setting of simple orbifolds. To describe the topology and geometry of a simple orbifold in terms of its combinatorics, we focus on {\em simple handlebodies} (that is, simple orbifolds which can be obtained from simple polytopes by gluing some disjoint specific codimension-one faces). We prove the following two main results in terms of combinatorics, which can be understood as "Combinatorial Sphere Theorem" and "Combinatorial Flat Torus Theorem" on simple handlebodies: (A) A simple handlebody is orbifold-aspherical if and only if it is flag. (B) There exists a rank-two free abelian subgroup in $π_1^{orb}(Q)$ of an orbifold-aspherical simple handlebody $Q$ if and only if it contains an $\square$-belt. Furthermore, based on such two results and some results of geometry, it is shown that the existence of some curvatures on a certain manifold cover (manifold double) over a simple handlebody $Q$ can be characterized in terms of the combinatorics of $Q$. In 3-dimensional case, together with the theory of hyperbolic 3-manifolds, we can induce a pure combinatorial equivalent description for a simple $3$-handlebody to admit a right-angled hyperbolic structure, which is a natural generalization of Pogorelov Theorem.

研究の動機と目的

• 単純多面体から単純オルビフォールドへ「フラッグ性」と「ベルト性」の組合せ的概念を拡張すること。
• 単純ハンドル体の組合せ的構造を用いてその位相的・幾何的性質を特徴づけること。
• 3次元単純ハンドル体が右角双曲構造をもつための、完全に組合せ的な基準を提供すること。
• 単純ハンドル体上の多様体ダブルの曲率性質と、それらの背後にあるオルビフォールドの組合せ的性質との関係を明らかにすること。
• Pogorelovの定理（3次元双曲多様体に関するもの）を単純オルビフォールドの文脈へ一般化すること。

提案手法

• コンパクトかつ連結な基底空間を持ち、その境界が三角形分割する神経を持つ右角コックスター・オルビフォールドとしての単純オルビフォールドの概念を導入する。
• オルビフォールド基本群に $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 部分群が存在せず、かつ $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ によって生成される $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-ベルトが存在しないことによって、単純オルビフォールドにおけるフラッグ性を定義する。
• デイヴィスの基本的構成を用いて、単純ハンドル体 $Q$ の上に多様体ダブル $M_Q$ を構成する。これは $G = (\boldsymbol{\text{Z}}_2)^m$-作用をもつ $Q$ の有限被覆である。
• 短完全列 $1 \to \boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2 \to \boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2 \to (\boldsymbol{\text{Z}}_2)^m \to 1$ を用いて、オルビフォールド基本群 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ と $Q$ 内の $\boldsymbol{\text{square}}$-ベルトの存在を関連付ける。
• ホフ＝リノウの定理およびマイヤーズの定理を適用し、多様体ダブル $M_Q$ における曲率制約を分析し、正の曲率が非フラッグかつ非ベルト構造と関連することを示す。
• 右角コックスターのセル分割を用いて、$\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ を右角コックスター群への反復HNN拡大として明示的に提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純ハンドル体 $Q$ がオルビフォールドアスフィヤリティであるのはいつか？ そしてこれはどのように組合せ的に特徴づけられるか？
• RQ2 単純ハンドル体のオルビフォールド基本群にランク2の自由アーベル部分群が存在するための組合せ的条件は何か？
• RQ3 3次元単純ハンドル体が右角双曲構造をもつことは可能か？ そのための完全な組合せ的条件は何か？
• RQ4 多様体ダブル $M_Q$ の曲率性質（非正曲率、正の断面曲率、正のリッチ曲率、正のスカラー曲率）は、$Q$ の組合せ的性質とどのように関係するか？
• RQ5 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$-生成の $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-ベルトは、$Q$ の位相的性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 単純ハンドル体 $Q$ がオルビフォールドアスフィヤリティであることは、かつそれがフラッグであることと同値である。すなわち、$\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ に $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 部分群が存在せず、かつ $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-生成の $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-ベルトが存在しないことと同値である。
• $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ にランク2の自由アーベル部分群が存在することは、$Q$ が $\boldsymbol{\text{square}}$-ベルトを含むことと同値である。
• 3次元において、単純ハンドル体が右角双曲構造をもつのは、$Q$ がフラッグであり、かつ $\boldsymbol{\text{square}}$-ベルトを含まないときであり、これはPogorelovの定理を拡張する。
• $Q$ の genus が 0 を超えるならば、その多様体ダブル $M_Q$ の基本群 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ は無限大であるため、$M_Q$ は正の断面曲率またはリッチ曲率の計量をもつことはできない。
• 多様体ダブル $M_Q$ が正のスカラー曲率の計量をもつのは、$Q$ がフラッグでないときであり、3次元においては、$Q$ が $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ から頂点カットを繰り返して得られる多面体と組合せ的に同値であることと同値である。
• $M_Q$ に非正曲率が存在することは、$Q$ がフラッグであり、かつ $\boldsymbol{\text{square}}$-ベルトを含まないことと同値であり、このような構造は $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-生成の $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-ベルトが存在しないことによって、組合せ的に特徴づけられる。