[論文レビュー] Topology and geometry of the canonical action of $T^4$ on the complex Grassmannian $G_{4,2}$ and the complex projective space $CP^{5}$

Victor Matveevich Buchstaber, Svjetlana Terzić|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、複素グラスマン多様体 $G_{4,2}$ および複素射影空間 $\mathbb{C}P^5$ における標準的 $T^4$-作用の位相的・幾何的性質を調査し、軌道空間 $G_{4,2}/T^4$ が $S^5$ に位相同相であり、非滑らか構造を誘導することを証明している。一方、$\mathbb{C}P^5/T^4$ は、$\mathbb{C}P^2 * S^2$ に位相同相である。これらの結果は $\mathbb{Z}_2^4$-作用を介して実の場合へ拡張され、$G_{4,2}(\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2^4 \simeq S^4$ および $\mathbb{R}P^5/\mathbb{Z}_2^4 \simeq \mathbb{R}P^2 * S^2$ が得られる。本研究では、モーメント写像、プリュッカー座標、およびトーリックトポロジーを用いて、軌道構造と特異点を分析している。

ABSTRACT

We consider the canonical action of the compact torus $T^4$ on the Grassmann manifold $G_{4,2}$ and prove that the orbit space $G_{4,2}/T^4$ is homeomorphic to the sphere $S^5$. We prove that the induced differentiable structure on $S^5$ is not the smooth one and describe the smooth and the singular points. We also consider the action of $T^4$ on $CP^5$ induced by the composition of the second symmetric power $T^4\subset T^6$ and the standard action of $T^6$ on $CP^5$ and prove that the orbit space $CP^5/T^4$ is homeomorphic to the join $CP^2\ast S^2$. The Plücker embedding $G_{4,2}\subset CP^5$ is equivariant for these actions and induces embedding $CP^1\ast S^2 \subset CP^2 \ast S^2$ for the standard embedding $CP^1 \subset CP^2$. All our constructions are compatible with the involution given by the complex conjugation and give the corresponding results for the real Grassmannian $G_{4,2}(R)$ and the real projective space $RP^5$ for the action of the group $Z _{2}^{4}$. We prove that the orbit space $G_{4,2}(R)/Z _{2}^{4}$ is homeomorphic to the sphere $S^4$ and that the orbit space $RP^{5}/Z _{2}^{4}$ is homeomorphic to the join $RP^2\ast S^2$.

研究の動機と目的

• 標準的 $T^4$-作用の下での複素グラスマン多様体 $G_{4,2}$ の軌道空間の構造を、トーリック幾何およびシンプレクティック幾何を用いて理解すること。
• 軌道空間 $G_{4,2}/T^4$ に誘導される微分構造を分析し、滑らかでない点（特異点）を同定すること。
• $T^4 \subset T^6$ の第二対称冪を介して誘導される $\mathbb{C}P^5$ 上の $T^4$-作用を分析し、その軌道空間の構造を同定すること。
• $G_{4,2}(\mathbb{R})$ および $\mathbb{R}P^5$ 上の $\mathbb{Z}_2^4$-作用を用いて、これらの結果の実版を確立し、それぞれ $S^4$ および $\mathbb{R}P^2 * S^2$ に位相同相であることを証明すること。
• $(2n,k)$-多様体およびトーリックトポロジーの文脈において、特にグラスマン多様体単体の分類的構造上での切断の存在を調査すること。

提案手法

• 複素グラスマン多様体 $G_{4,2}$ を $\mathbb{C}P^5$ に埋め込むプリュッカー埋め込みを用い、モーメント写像 $\mu: G_{4,2} \to \mathbb{R}^4$ を定義する。その像は、八面体であるハイパーシンプルクス $\Delta_{4,2}$ に一致する。
• 行列 $F(A) = A(A^*)^T$ の対角成分によって定義される標準的モーメント写像 $\nu: G_{4,2} \to \mathbb{R}^4$ を用い、これがプリュッカーのモーメント写像と一致することを示す。
• $(\mathbb{C}^*)^4$ の $G_{4,2}$ 上の作用を用いて、軌道の閉包とストラトム（層構造）を分析し、特にメインストラトム $W$ 及びその補集合を考察する。
• $\mathbb{R}^4$ 上の一般線形関数 $h$ を用いて、$h \circ \mu$ というモース関数を構成し、その臨界点が $T^4$-固定点と一致することを証明する。
• モーメント写像の像および軌道型の位相的解析とセル分解を用いて、軌道空間 $G_{4,2}/T^4$ が $S^5$ に位相同相であることを示す。
• $T^4$-作用が第二対称冪の構成から誘導されることを用い、$\mathbb{C}P^5/T^4$ がジョイン $\mathbb{C}P^2 * S^2$ に一致することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的 $T^4$-作用の下での軌道空間 $G_{4,2}/T^4$ の位相的構造は何か？
• RQ2 $G_{4,2}/T^4$ に誘導される微分構造は滑らかか。滑らかでない場合、特異点はどこに位置するか？
• RQ3 $T^4 \subset T^6$ の第二対称冪を介して誘導される $\mathbb{C}P^5$ 上の $T^4$-作用は、軌道空間の構造にどのように影響するか？
• RQ4 埋め込み $G_{4,2} \subset \mathbb{C}P^5$ と、両多様体の軌道空間構造との関係は何か？
• RQ5 $G_{4,2}(\mathbb{R})$ および $\mathbb{R}P^5$ 上の $\mathbb{Z}_2^4$-作用における、これらの結果の実版は何か？

主な発見

• $G_{4,2}/T^4$ は 5-次元球面 $S^5$ に位相同相であるが、誘導される微分構造は標準的な滑らか構造ではない。
• $G_{4,2}/T^4$ の滑らかでない点（特異点）は明示的に記述されており、特異点はトーラス作用における非自明な安定化部分群に起因する。
• $\mathbb{C}P^5/T^4$ はジョイン $\mathbb{C}P^2 * S^2$ に位相同相である。これは、第二対称冪を介した $T^4$-作用の誘導から得られる結果である。
• 埋め込み $G_{4,2} \subset \mathbb{C}P^5$ は $T^4$--equivariant であり、これにより $\mathbb{C}P^1 * S^2 \subset \mathbb{C}P^2 * S^2$ という埋め込みが誘導される。
• 実の場合、軌道空間 $G_{4,2}(\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2^4$ は $S^4$ に位相同相であり、$\mathbb{R}P^5/\mathbb{Z}_2^4$ は $\mathbb{R}P^2 * S^2$ に位相同相である。同様の特異点構造の解析がなされている。
• モーメント写像 $\mu: G_{4,2} \to \mathbb{R}^4$ が、行列 $F(A) = A(A^*)^T$ によって定義される対角写像 $\nu$ と一致することが示され、標準的形であることが確認された。