[論文レビュー] Topology and Turbulence

R. M. Kiehn|ArXiv.org|Feb 2, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、カルタンの微分形式理論を用いて流体の流れの位相的分類を提案し、作用1形式のPfaff次元によって乱流を定義する。ポテンシャル流れ・ストリームライン流れはPfaff次元1–2（連結位相空間）、カオス的流れはPfaff次元3（非連結）、乱流はPfaff次元4（非連結カルタン位相空間）である。主な結果は、乱流の生成には不連続なプロセス（衝撃波、接線不連続）が必要であるが、減衰は連続的かつ不可逆的であり、ナビエ＝ストークス方程式はそのような4次元不可逆解によって後者を記述できる。

ABSTRACT

Over a given regular domain of independent variables {x,y,z,t}, every covariant vector field of flow can be constructed in terms a differential 1-form of Action. The associated Cartan topology permits the definition of four basic topological equivalence classes of flows based on the Pfaff dimension of the 1-form of Action. Potential flows or streamline processes are generated by an Action 1-form of Pfaff dimension 1 and 2, respectively. Chaotic flows must be associated with domains of Pfaff dimension 3 or more. Turbulent flows are associated with domains of Pfaff dimension 4. It will be demonstrated that the Navier-Stokes equations are related to Action 1-forms of Pfaff dimension 4. The Cartan Topology is a disconnected topology if the Pfaff dimension is greater than 2. This fact implies that the creation of turbulence (a state of Pfaff dimension 4 and a disconnected Cartan topology) from a streamline flow (a state of Pfaff dimension 2 and a connected topology) can take place only by discontinuous processes which induce shocks and tangential discontinuities. On the otherhand, the decay of turbulence can be described by continuous, but irreversible, processes. Numerical procedures that force continuity of slope and value cannot in principle describe the creation of turbulence, but such techniques of forced continuity can be used to describe the decay of turbulence.

研究の動機と目的

• 流体力学における乱流の明確な数学的定義が、直感的な認識とは対照的に存在しないという問題に対処すること。
• 幾何的または統計的手段ではなく、位相的不変量を用いて乱流への遷移を再定式化すること。
• 乱流が4次元Pfaff次元および非連結カルタン位相空間に対応することを示し、不連続な形成を示唆すること。
• ナビエ＝ストークス方程式が、連続的かつ不可逆的で4次元の解を用いて乱流の減衰を記述できることを示すこと。
• 位相的ねじれ電流およびスピン密度を、流体力学においてこれまで無視されてきた物理的に意味のある量として導入すること。

提案手法

• カルタンの外微分法を用いて、作用1形式から流れの共変ベクトル場を構成する。
• 作用1形式のPfaff次元に基づいて流れを分類する：ポテンシャル／ストリームライン流れは1–2、カオス的流れは3、乱流は4。
• 作用1形式の外微分およびその外積から、ナビエ＝ストークス方程式を偏微分方程式系として導出する。
• 2形式F = dAおよび3形式H = A ∧ dAを用いて、ねじれ（位相的ねじれ）およびその保存則を定義し、位相的パリティK = dHにおける異常項−2(a·ω)を導入する。
• ねじれ電流Tを、スピン密度h、速度v、渦度ω、粘性係数νの関数として表現し、Euler流でも非ゼロの電流が存在することを明らかにする。
• 位相的パリティK = 2ν(ω·curl ω)dx∧dy∧dz∧dtが、Euler標数χに比例し、Kが消えるときχ = 0となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計的または幾何的基準ではなく、位相的不変量を用いて乱流を明確に定義できるか？
• RQ2 不連続性は乱流形成において果たす役割は何か？またナビエ＝ストークス方程式とどのように関係するか？
• RQ3 標準的な数値手法がなぜ乱流生成を捉えられないのか？その背後にある位相的根拠は何か？
• RQ4 スピン密度およびねじれ電流は、不可逆的で粘性のある流体力学とどのように関係するか？
• RQ5 カオス理論におけるスラングアトラクトルの存在は、Pfaff次元4で定義される乱流の位相的状態と同等か？

主な発見

• 乱流はPfaff次元4および非連結カルタン位相空間を特徴とし、その形成は連続的ではあり得ず、衝撃波や接線不連続を伴う必要がある。
• ナビエ＝ストークス方程式は、4次元的で不可逆的かつ位相的に制約けん作用1形式から導出され、Pfaff次元4に対して解が存在する。
• 位相的ねじれ電流Tは、粘性のない（Euler的）流れに対しても存続し、流体力学においてこれまで無視されてきた物理的量であることを示唆する。
• スピン密度－ねじれ電流保存則は、異常項−2(a·ω)が消える場合にのみ成立し、これはEuler指標χ = 0のときである。
• Euler指標χは、位相的パリティ4形式Kの積分に比例し、流体が最小エネルギー散逸状態にあるときには消える。
• 勾配および値の連続性を強制する数値手法では、乱流の生成を記述できないが、連続的かつ不可逆的な解を用いてその減衰をモデル化することは可能である。