[論文レビュー] Topology change in classical and quantum gravity

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、古典的および量子重力におけるトポロジー変化を検討し、因果性の侵害やスピンルールの障害により、ローレンツ一般相対性理論ではそれが禁止されているのに対し、経路積分を用いたユークリッド量子重力では、実トンネル幾何（複素古典解）を通じてトポロジー変化が可能であることを示している。これはブラックホール対生成のような時空遷移を媒介するものであり、反射正値性とグリーン関数に基づく一貫した量子化枠組みが整っている。

ABSTRACT

In these two lectures I describe the difficulties one encounters when trying to construct a framework in which to describe topology change in classical general relativity where one sticks to the assumption of an everywhere non-singular Lorentzian metric and how these difficulties can be circumvented in the Euclidean approach to quantum gravity.

研究の動機と目的

• 古典的ローレンツ一般相対性理論におけるトポロジー変化の運動論的および因果的障害を分析すること、特に時間方向性の欠如と閉じた時空的曲線の存在。
• ローレンツ時空におけるトポロジー変化の新たな障害を特定すること：トポロジー変化を経験する多様体上では2成分スピンルールを一貫して定義できないこと。
• ユークリッド量子重力において、複素古典的経路（実トンネル幾何と呼ばれる）を通じて、トポロジー変化が運動論的および力学的に許容されることを示すこと。
• 反射正値性とグリーン関数を用いたユークリッド経路積分的手法により、これらの実トンネル幾何のまわりの量子ゆらぎの量子化枠組みを構築すること。
• 等長群の作用を用いて、特にデ de Sitter 空間のような対称的時空において、トンネル過程の物理的ヒルベルト空間と真空状態を確立すること。

提案手法

• トポロジー変化をローレンツコボルディズムとして形式化する：境界が初期および最終の3次元多様体からなるコンパクトな4次元多様体で、非特異なローレンツ計量を備える。
• ユークリッド量子重力においてハートル＝ホーキングおよびギブンズのインスタントン的手法を適用し、リーマン計量上の経路積分を用いて量子遷移を記述する。
• 実トンネル幾何（経路積分内での複素古典解）を導入し、ブラックホール対生成のような過程を媒介するトポロジー変化を記述する。
• 二重化多様体 $ 2M_R $ 上のグリーン関数 $ G(x,y) $, $ G_D $, および $ G_N $ を用いて内積を定義し、ノルム $ \|f^+(x)\|^2 $ の正値性を保証する。
• ディリクレの原理と作用素比較 ($ G_D \leq G $) を用いてノルムの正値性を証明し、量子力学的解釈の一貫性を確保する。
• 反射正値性を適用して物理的ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ を構成し、ユークリッド幾何の解析接続の等長群 $ K_L $ に対して不変な真空状態を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論の下で、グローバルに非特異なローレンツ計量が成り立つ場合、時空のトポロジー変化は可能か？
• RQ2 特に時間方向性とスピンルール構造に関して、ローレンツ時空におけるトポロジー変化の因果的および幾何的障害は何か？
• RQ3 ローレンツ形式における困難を踏まえて、量子重力においてトポロジー変化を一貫して記述する方法は何か？
• RQ4 実トンネル幾何は、ユークリッド経路積分的手法においてトポロジー変化をどのように媒介するか？
• RQ5 実トンネル幾何のまわりの量子ゆらぎを一貫して量子化する方法は何か？ その結果得られる物理的ヒルベルト空間と真空状態は何か？

主な発見

• 古典的ローレンツ重力におけるトポロジー変化は、時間方向性の欠如と閉じた時空的曲線の出現により、運動論的に禁止されている。
• より深い障害が存在する：閉じた時空的曲線を許容しても、トポロジー変化を経験する多様体上では2成分スピンルールを一貫して定義できない。
• ユークリッド量子重力では、トポロジー変化が許容されており、実トンネル幾何（経路積分内での複素古典解）がそれを媒介している。これはブラックホール対生成のような過程を記述する。
• グリーン関数の比較とディリクレの原理を用いて、ノルム $ \|f^+(x)\|^2 $ の正値性が証明され、物理的ヒルベルト空間における一貫した内積が保証される。
• 物理的ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ は反射正値性を用いて構成され、真空状態は等長群 $ K_L $ に対して不変であり、対称的な場合に de Sitter 不変状態が得られる。
• この枠組みは、トンネル後に対応する量子状態の自然な候補を提供し、ノーバウンダリー予想と整合的であり、ワームホールや宇宙対生成のような過程に適用可能である。