[論文レビュー] Topology Change in Classical General Relativity

Arvind Borde|ArXiv.org|Jun 30, 1994

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、初期の空間的超曲面が一つの位相を持つが、因果的にコンpakな中間時空を通じて最終的な超曲面が異なる位相を持つように接続される時空を分析することにより、古典的一般相対性理論における位相変化を検討する。非特異なローレンツ計量を用いた場合、位相変化は運動論的に可能であるが、因果性の破綻が生じる。これは、初期または最終超曲面が連結でない限り生じる。さらに、次元≥3では、このような時空は物理的に妥当な源を伴うアインシュタイン方程式を満たすことはできず、特異性が存在しても、位相変化に対して強い力学的障害が生じる。

ABSTRACT

This paper clarifies some aspects of Lorentzian topology change, and it extends to a wider class of spacetimes previous results of Geroch and Tipler that show that topology change is only to be had at a price. The scenarios studied here are ones in which an initial spacelike surface is joined by a connected ``interpolating spacetime'' to a final spacelike surface, possibly of different topology. The interpolating spacetime is required to obey a condition called causal compactness, a condition satisfied in a very wide range of situations. No assumption is made about the dimension of spacetime. First, it is stressed that topology change is kinematically possible; i.e., if a field equation is not imposed, it is possible to construct topology-changing spacetimes with non-singular Lorentz metrics. Simple 2-dimensional examples of this are shown. Next, it is shown that there are problems in such spacetimes: Geroch's closed-universe argument is applied to causally compact spacetimes to show that even in this wider class of spacetimes there are causality violations associated with topology change. It follows from this result that there will be causality violations if the initial (or the final) surface is not connected, even when there is no topology change. Further, it is shown that in dimensions $\geq 3$ causally compact topology-changing spacetimes cannot satisfy Einstein's equation (with a reasonable source); i.e., there are severe dynamical obstructions to topology change. This result extends a previous one due to Tipler. Like Tipler's result, it makes no assumptions about geodesic completeness; i.e., it does not permit topology change even at the price of singularities (of the standard incomplete-geodesic variety). Brief discussions are also given of ways in which the results of this paper might be circumvented.

研究の動機と目的

• 因果性やエネルギー条件の違反を伴わずに、位相変化がどのように発生するかの条件を明確化すること。
• ジローチとティプラの因果性および力学的障害に関する結果を、測地的完全性の仮定を必要としないより広いクラスの時空へと拡張すること。
• 特に次元≥3において、物理的に妥当な源を伴うアインシュタイン方程式を満たす条件下で、位相変化が力学的に実現可能かどうかを調査すること。
• 退化計量や非断片的時空といった代替的メカニズムが、因果構造と幾何的整合性を保ちつつ位相変化を可能にするかを評価すること。

提案手法

• 初期空間的超曲面が、連結で因果的コンパクトな中間時空を通じて最終空間的超曲面に接続される枠組みを採用し、位相変化を可能にする。
• 中間時空に因果的コンパクト性を課すことにより、因果的曲線が無限に発散しないようにし、時空構造の適切な振る舞いを保証する。
• ジローチの閉じた宇宙に関する議論を因果的コンパクト時空に適用し、初期または最終超曲面が連結でない限り、位相変化が因果性の破綻を引き起こすことを示す。
• 次元≥3におけるアインシュタイン場方程式を分析し、因果的コンパクト性を満たす位相変化を伴う時空は、非負のエネルギー密度を満たす物理的に妥当な源を伴うと、曲率条件やエネルギー条件に違反することを示す。
• 孤立点での退化計量の許容といった代替的アプローチを検討し、因果性および曲率計算への影響を議論する。
• 非測地的完全性、共形変換、または修正されたエネルギー条件による障害回避の可能性を検討したが、それらはいずれも不十分または物理的に正当化できないと結論した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果性を破壊せずに、古典的一般相対性理論において位相変化が発生可能か。その条件は何か？
• RQ2 特異性が存在しない状況下でも、位相変化を伴う因果的コンパクト時空は因果性の破綻を引き起こすか？
• RQ3 次元≥3の時空において、アインシュタイン方程式が物理的に妥当な源を満たすように満たされない動的障害は存在するか？
• RQ4 退化計量や非断片的時空は、因果構造と幾何的整合性を保ちつつ、位相変化を可能にする有効なメカニズムと見なせるか？
• RQ5 ジローチとティプラの結果は、測地的完全性を要しない時空の広いクラスへと一般化可能か？

主な発見

• 位相変化は古典的一般相対性理論において運動論的に可能である：非特異なローレンツ計量を用いた時空で、初期と最終の空間的位相を接続するものが構成可能である。
• 初期または最終空間的超曲面が連結でない限り、因果的コンパクト時空では因果性の破綻が生じる。これは、位相変化がなくても成立する。
• 次元≥3では、因果的コンパクトな位相変化を伴う時空は、非負のエネルギー密度を満たす源を伴うと、アインシュタイン方程式を満たすことはできない。これは強い力学的障害を示している。
• 特異性が標準的な不完全測地線の意味で許容されても、この力学的障害は依然として成立する。つまり、特異性を代償にしても、位相変化は禁止される。
• 曲率条件やエネルギー条件の仮定を弱める場合でも、この結果は頑健である。これは、アインシュタイン方程式の大幅な修正、または退化計量の使用以外では、障害を回避できない可能性を示唆している。
• 退化計量は、位相変化の有効な道筋を提供する可能性があるが、標準的な因果構造を損なうため、アインシュタインの第一順位形式（アシュテカールの第一順位変数）のような新たな形式的枠組みが必要となる。