[論文レビュー] Topology from enrichment: the curious case of partial metrics

Dirk Hofmann, Isar Stubbe|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Lawvereの拡張非負実数の量代数における対角線の量代数のカテゴリカルな基礎を確立し、部分度量空間が自然にそのように生じることを示している。一般化された部分度量空間としてのカテゴリカルな閉包作用素を導入し、それが部分度量空間における正しい位相とコーシー収束を誘導することを証明し、分配関手の表現可能性を用いて指数可能性およびコーシー完備性を特徴づけている。

ABSTRACT

For any small quantaloid $\Q$, there is a new quantaloid $\D(\Q)$ of diagonals in $\Q$. If $\Q$ is divisible then so is $\D(\Q)$ (and vice versa), and then it is particularly interesting to compare categories enriched in $\Q$ with categories enriched in $\D(\Q)$. Taking Lawvere's quantale of extended positive real numbers as base quantale, $\Q$-categories are generalised metric spaces, and $\D(\Q)$-categories are generalised partial metric spaces, i.e.\ metric spaces in which self-distance need not be zero and with a suitably modified triangular inequality. We show how every small quantaloid-enriched category has a canonical closure operator on its set of objects: this makes for a functor from quantaloid-enriched categories to closure spaces. Under mild necessary-and-sufficient conditions on the base quantaloid, this functor lands in the category of topological spaces; and an involutive quantaloid is Cauchy-bilateral (a property discovered earlier in the context of distributive laws) if and only if the closure on any enriched category is identical to the closure on its symmetrisation. As this now applies to metric spaces and partial metric spaces alike, we demonstrate how these general categorical constructions produce the "correct" definitions of convergence and Cauchyness of sequences in generalised partial metric spaces. Finally we describe the Cauchy-completion, the Hausdorff contruction and exponentiability of a partial metric space, again by application of general quantaloid-enriched category theory.

研究の動機と目的

• 量代数の拡張によるカテゴリカルな理論を用いて、部分度量空間のカテゴリカル構造と位相的構造を統一すること。
• カテゴリカルな道具を用いて、度量の閉包およびコーシー完備性の概念を部分度量空間へ一般化すること。
• 一般化された部分度量空間の圏における部分度量空間の指数可能性が成り立つ条件を特徴づけること。
• 部分度量空間におけるカテゴリカルな閉包が、その位相的閉包と一致し、収束およびコーシー列を正しく捉えていることの証明。
• 一般化されたコーシー完備化およびハウスドルフ構成のための一般的な枠組みを、豊かにされた圏論を用いて提供すること。

提案手法

• 与えられた小さな量代数 $\mathcal{Q}$ から、その対角線の量代数 $\mathcal{D}(\mathcal{Q})$ を構成し、特に $[0,\infty]$ に適用する。
• 部分 $\mathcal{Q}$-圏を $\mathcal{D}(\mathcal{Q})$-豊かにされた圏として定義し、これが一般化された部分度量空間と正確に一致することを示す。
• 任意の量代数豊かにされた圏の対象の集合に、一般化された度量の閉包を一般化した標準的な閉包作用素を導入する。
• この閉包作用素が位相空間を誘導する条件、および対称化された圏の閉包と一致する条件を特徴づける。
• カテゴリカルな閉包作用素を部分度量空間に適用し、それが標準的な位相的収束およびコーシー列の概念と一致することを証明する。
• 豊かにされた圏における指数可能関手の一般理論を用いて、部分度量空間の指数可能性の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分度量空間の位相は、そのカテゴリカルな豊かさ構造からどのように導出可能か？
• RQ2 部分度量空間におけるコーシー完備性のカテゴリカルな類似は何か？ そして、分配関手の表現可能性とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathcal{D}([0,\infty])$-圏におけるカテゴリカルな閉包が、標準的な位相的閉包と一致する条件は何か？
• RQ4 一般化された部分度量空間の圏において、部分度量空間がいつ指数可能か？
• RQ5 部分度量空間におけるハウスドルフ構成は、豊かにされた圏論から導出可能か？

主な発見

• 部分度量空間（すなわち、$\mathcal{D}([0,\infty])$-圏）におけるカテゴリカルな閉包は、部分度量によって誘導される標準的な位相的閉包と一致する。
• 部分度量空間において、列が収束することと、カテゴリカルな閉包作用素によって誘導される位相において収束することは、同値である。
• 部分度量空間において列がコーシー列であることと、関連する分配関手が表現可能であることとは同値であり、これはLawvereによるコーシー完備性の特徴づけを一般化する。
• 一般化された部分度量空間 $X$ が圏 $\mathsf{G}\mathsf{P}\mathsf{Met}$ において指数可能であることの必要十分条件は、すべての $x_0, x_2 \in X$ および $u,v,w \in [0,\infty[$ について、$p(x_0,x_2) \leq u - v + w$、$p(x_0,x_0) \vee v \leq u$、および $p(x_2,x_2) \vee v \leq w$ を満たすとき、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $p(x_1,x_1) = v$、$p(x_0,x_1) \leq u + \varepsilon$、$p(x_1,x_2) \leq w + \varepsilon$ を満たす $x_1 \in X$ が存在することである。
• すべての単射部分度量空間は指数可能であり、単射部分度量空間の完全部分圏はデカルト閉である。