[論文レビュー] Topology induced bifurcations for the NLS on the tadpole graph

Claudio Cacciapuoti, Domenico Finco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Nonlinear Photonic Systems参考文献 5被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、半直線が接続されたリングからなるトゥルーパー図形上の三次非線形シュレーディンガー方程式（NLS）のソリトンを完全に分類し、非自明な位相的性質が複数の分岐機構を引き起こすことを示している。可算無限個の埋め込まれたソリトン、ピッチフォーク対称性の破れを示すエッジ・ソリトン、線形的類似物のないソリトンが特定され、これらはすべて楕円ヤコビ関数を用いて明示的に構成されており、磁場フラックスの量子化のもとでも安定していることが示された。

ABSTRACT

In this paper we give the complete classification of solitons for a cubic NLS equation on the simplest network with a non-trivial topology: the tadpole graph, i.e. a ring with a half-line attached to it and free boundary conditions at the junction. The model, although simple, exhibits a surprisingly rich behavior and in particular we show that it admits: 1) a denumerable family of continuous branches of embedded solitons bifurcating from linear eigenstates and threshold resonances of the system; 2) a continuous branch of edge solitons displaying a pitchfork symmetry breaking bifurcation at the threshold of the continuous spectrum; 3) a finite family of continuous branches of solitons without linear analogue. All the solutions are explicitly constructed in terms of elliptic Jacobian functions. Moreover we show that families of nonlinear bound states of the above kind continue to exist in the presence of a uniform magnetic field orthogonal to the plane of the ring when a well definite flux quantization condition holds true. Finally we highlight the role of resonances in the linearization as a signature of the occurrence of bifurcations of solitons from the continuous spectrum.

研究の動機と目的

• トゥルーパー図形という位相的に非自明な構造を有する系における三次NLSのすべての定常非線形束縛状態（ソリトン）を分類すること。
• 特にリングが半直線と接続された非自明な位相的性質が、直線上の標準的NLSに存在しない新たな分岐機構をどのように誘発するかを調査すること。
• 連続スペクトルの端に位置する埋め込まれた固有状態や臨界共鳴状態といった線形スペクトル的特徴が、ソリトン分岐を引き起こす役割を分析すること。
• 均一な磁場が存在する場合、特にフラックスが量子化されている条件下で、ソリトン族の存続性を検討すること。
• 線形化作用素における臨界共鳴状態と、非線形ソリトン分岐の発生との間の関係を確立すること。

提案手法

• 接続部における自由（キルヒホッフ型）境界条件を用いて、トゥルーパー図形上での三次NLSを定式化し、波動関数の連続性と確率フリックス保存を保証する。
• 楕円ヤコビ関数（例：cn, dn）を用いてソリトン解を明示的に構成し、周期的および準周期的性質を活用して境界条件と連続性条件を満たす。
• 分岐理論を適用し、連続スペクトルの端に位置する線形固有状態および臨界共鳴状態から生じるソリトンの連続的分岐枝を同定する。
• リングの平面に垂直な磁場を導入し、ベクトルポテンシャルを用いて境界条件に位相因子を導入し、解の存在を保証するためのフラックス量子化条件を課す。
• 解の周囲での線形化作用素を分析し、特に埋め込まれたソリトンおよびエッジ・ソリトンに対して、分岐の前兆としての共鳴状態を同定する。
• 頂点にδ関数ポテンシャルを導入するなど、代替の接続条件を検討し、局所的摂動がソリトンの存在および安定性に与える影響を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トゥルーパー図形の非自明な位相的性質は、三次NLSにおいてどのような新しいタイプのソリトン解を生じさせるか？
• RQ2 連続スペクトルが存在する中で、線形の埋め込まれた固有状態および臨界共鳴状態からソリトンがどのように分岐するかのメカニズムは何か？
• RQ3 ピッチフォーク対称性の破れを示すエッジ・ソリトンが存在しうるか？その安定性および構造はいかなるものか？
• RQ4 線形的類似物のないソリトン族が存在しうるか？また、それらはどのように明示的に構成されるか？
• RQ5 フラックスが量子化された均一な磁場が、非線形束縛状態の存在および構造にどのように影響するか？

主な発見

• 線形化作用素の線形の埋め込み固有状態および臨界共鳴状態から、可算無限個の連続的分岐枝を持つ埋め込みソリトンが存在する。
• 連続スペクトルの臨界エネルギーに位置するエッジ・ソリトンの連続的分岐枝が存在し、そのエネルギーでピッチフォーク対称性の破れ分岐を示す。
• 線形的類似物のないソリトン解が有限個存在し、非線形結合および位相的制約から生じる。
• すべてのソリトン族は楕円ヤコビ関数を用いて明示的に構成されており、波動関数および位相の解は楕円積分とその逆関数から導出される。
• リングに垂直な均一な磁場が存在する場合、フラックスが量子化条件 $\varphi = 2n\pi$ を満たす限り、埋め込みソリトンおよびその分岐が存続する。
• 線形化作用素における臨界共鳴状態は、特に埋め込まれたソリトンおよびエッジ・ソリトンの分岐の発生に重要な兆候を示す。