[論文レビュー] Topology of 3-manifolds and a class of groups II

S.K. Roushon|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体の仮想ベッチ数予想に動機づけられた、導来系列が完全部分群で終わる群のクラスである「かわいい群（adorable groups）」を調査する。すべての連結な実または複素リー群がかわいい群であることを示し、特定の条件下で一般化自由積やHNN拡大が非かわいい群であることを証明し、SL(n,Z)における余分有限p群を用いた反例を提示する。主な貢献は、かわいい群の構造的特徴と、3次元多様体トポロジーおよび剛性理論におけるその役割の同定である。

ABSTRACT

This is a continuation of an earlier preprint (math.GT/0209121) under the same title. These papers grew out of an attempt to find a suitable finite sheeted covering of an aspherical 3-manifold so that the cover either has infinite or trivial first homology group. With this motivation we defined a new class of groups. These groups are in some sense eventually perfect. Here we prove results giving several classes of examples of groups which do (not) belong to this class. Also we prove some basic results on these groups and state two conjectures. A direct application of one of the conjectures to the virtual Betti number conjecture is mentioned. For completeness, here we reproduce parts of math.GT/0209121.

研究の動機と目的

• 導来系列が完全群で終わるような『かわいい群』のクラスを定義し、研究すること。
• 特に仮想ベッチ数予想に関連して、3次元多様体の基本群のうち、どの群がかわいい群であるかを特定すること。
• 一様空間的で、第一ホモロジー群が有限である3次元多様体の有限シート被覆が、最終的に第一ホモロジー群が自明または無限大になるかどうかを調査すること。
• 第一ホモロジー群が有限である3次元多様体の基本群について、導来系列プロセスが完全群で終わることを解決すること。
• 特に共(compact)格子の文脈において、リー群の離散部分群の構造とそのかわいい性を調査すること。

提案手法

• 導来系列が完全部分群で終わるという性質に基づき、『かわいい群』の概念を導入する。
• 交換子部分群、正規系列、フィルトレーションの群論的技法を用いる。
• すべての連結な実または複素リー群がかわいい群であることを、リー群理論を応用して証明する。
• ホワイトヘッド補題と基本行列の性質を用いて、GL(R) および SL_n(C) がかわいい群であることを示す。
• 一般化自由積とHNN拡大を分析し、それらが非かわいい群である条件を同定する。
• SL(n,Z) → SL(n,Z/pZ) の核を用いた反例を構成し、それが有限生成、ねじれなし、余分有限p群であり、かつかわいい群でないことを示すが、予想の仮定を満たしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての連結リー群が抽象群としてかわいい群であるか？
• RQ2 一般化自由積またはHNN拡大が非かわいい群である条件は何か？
• RQ3 第一ホモロジー群が有限である3次元多様体の基本群について、導来系列プロセスが完全群で終わるのか？
• RQ4 第一ホモロジー群が有限である3次元多様体の基本群が、リー群の共compactな離散部分群としてかわいい群であるという予想は、証明可能か？
• RQ5 大多数の群はかわいい群でないのか？そして、確率的または幾何的群論的手法によってこの事実を確立できるか？

主な発見

• すべての連結な実または複素リー群は、導来系列とその交換子部分群が完全群であるという事実により、かわいい群である。
• 奇素数p（p=2の場合はmod 4）に対して、SL(n,Z) → SL(n,Z/pZ) の核は、有限生成、ねじれなし、余分有限p群であり、かつかわいい群でない。
• この核は、以前の論文における予想の仮定を満たしているが、かわいい群でないため、予想0.2の反例を提供する。
• G¹ ∩ H = 1 を満たす一般化自由積 G₁*ₕG₂ は、G¹ が完全群であれば非かわいい群であり、同様の条件下でHNN拡大も非かわいい群である可能性がある。
• 2本以上のストリングを持つ純粋ばね群は、非アーベル自由群への上への準同型を持つため、かわいい群でない。
• 特定の条件下（底オルビフォールドとモノドロミーが特定の性質を満たす場合を除き）、多くのセイフェルトファイバー3次元多様体の基本群は非かわいい群である。