[論文レビュー] Topology of angle valued maps, bar codes and Jordan blocks

Dan Burghelea, Stefan Haller|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、滑らかな位相的空間上のタム角値写像に対する計算に適した不変量として「バーコード」と「ジョルダン型」を導入し、それらの解析を行う。これらの不変量は、ベッチ数、ノヴィコフ・ベッチ数、モノドロミーと関連づけることで位相的意味を確立し、複素平面から原点を除いた空間におけるバーコード配置に関して安定性およびポincare双対性を証明する。

ABSTRACT

In this paper one presents a collection of results about the "bar codes" and "Jordan blocks" introduced by Burghelea-Day as "computer friendly" invariants of a tame angle-valued map and one relates these invariants to the Betti numbers, Novikov Betti numbers and the monodromy of the underlying space and map. Among others, one organizes the bar codes as two configurations of points in C\0 and one establishes their main properties: stability property and when the underlying space is a closed topological manifold, Poincaré duality property. One also provides an alternative "computer friendly" definition of the monodromy of an angle valued map based on the algebra of linear relations as well as a refinement of Morse and Morse-Novikov inequalities.

研究の動機と目的

• 滑らかな位相的空間上のタム角値写像の不変量を、計算に適した代数的枠組みで提供すること。
• バーコードとジョルダン型を、ベッチ数やノヴィコフ・ベッチ数といった古典的位相不変量と関連付けること。
• 複素数平面から原点を除いた空間におけるバーコード配置に関して、基礎的性質（安定性およびポincare双対性）を確立すること。
• ラテン多項式環上の線形関係を用いてモノドロミーを再定式化し、計算上のアクセス性を向上させること。
• バーコードとジョルダン型の構造を用いて、標準的なモース不等式およびモース＝ノヴィコフ不等式を精緻化すること。

提案手法

• 角値写像のマッピングコーンのグラフ表現を用いて、バーコードとジョルダン型を表現する。
• 無限サイクリック被覆のホモロジーを、体 $\kappa[t^{-1}, t]$ 上の有限生成加群としてモデル化する。
• PID上の有限生成加群の構造定理を用いて、これらの加群を自由部と torsion 部に分解し、バーコードとジョルダン型を特定する。
• バーコードとジョルダン型に対応する $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ 内の点の多重集合としての配置 $C_r(f)$ を定義する。
• 安定性定理を適用し、写像 $f$ の小さな摂動がバーコード配置に小さな変化をもたらすことを示す。
• 無限サイクリック被覆の加群構造における双対性を活用して、$C_r(f)$ に対するポincare双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーコードとジョルダン型は、$\mathbb{C} \setminus \{0\}$ 内の幾何的配置としてどのように整理され、どのような位相的性質を満たすか？
• RQ2 タム角値写像のバーコードとジョルダン型は、基になる空間のベッチ数およびノヴィコフ・ベッチ数とどのように関係するか？
• RQ3 写像のモノドロミーは、$\kappa[t^{-1}, t]$ 上の関連加群の代数的構造とどのように関連するか？
• RQ4 バーコードおよびジョルダン型の多重度と型を用いて、標準的なモース不等式およびモース＝ノヴィコフ不等式を精緻化できるか？
• RQ5 写像 $f$ の小さな摂動に対して、バーコード配置の安定性はどのように振る舞うか？

主な発見

• バーコードとジョルダン型は、$\mathbb{C} \setminus \{0\}$ 内の点の多重集合として整理され、写像の位相的データを符号化する配置 $C_r(f)$ を形成する。
• 配置 $C_r(f)$ は安定性を満たす：写像 $f$ の小さな摂動は、ボトルネック距離で測定したとき、配置に小さな変化をもたらす。
• 基になる空間が閉じた位相的多様体である場合、配置 $C_r(f)$ はポincare双対性を満たし、無限サイクリック被覆のコホモロジーにおける双対性を反映する。
• 角値写像のモノドロミーは、線形関係の代数を用いて再定式化され、古典的定義の代わりに計算に有効な代替定義を提供する。
• 本稿では、バーコードとジョルダン型の多重度および型を組み込むことで、モースおよびモース＝ノヴィコフ不等式を精緻化し、ベッチ数およびノヴィコフ・ベッチ数に対するより鋭い上限を導出する。
• 有限次元の単体的複体に対しては、参照文献 [3] に提示されたアルゴリズムにより、バーコードとジョルダン型が実際に計算可能である。