[論文レビュー] Topology of Blow-ups and Enumerative Geometry

Haibao Duan, Banghe Li|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素法束を持つ部分多様体に沿った滑らかな多様体のブローアップの整数係数コホモロジー環および全チャーン類に対して明示的な公式を確立する。これらの位相的不変量を用いて、$\mathbb{P}^3$ 内の完全な二次曲線と完全な二次曲面のコホモロジー環を計算し、シューベルトの古典的数え上げ的結果を厳密に検証する：一般の8次曲面に接する4,407,296個の二次曲線、一般の9次曲面に接する666,841,088個の二次曲面。

ABSTRACT

Let M be the blow--up of a manifold M along a submanifold X. In this paper we present closed formulae for the integral cohomology and the total Chern class of M. As applications we compute the cohomology of the varieties of complete conics and complete quadrices in 3--space, and justify two enumerative results due to Schubert.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体を複素法束を持つ部分多様体に沿ってブローアップした場合の、整数係数コホモロジー環および全チャーン類の一般公式を導出すること。
• これらの公式を用いて、$\mathbb{P}^3$ 内の完全な二次曲線と完全な二次曲面の多様体のコホモロジー環を計算し、それらが以前に未解決であったことを明らかにすること。
• 数え上げ幾何学におけるパrameter空間の特性数を計算するための体系的かつ効果的な方法を提供すること。
• シューベルトが1891年に提示した、$\mathbb{P}^3$ 内の一般の二次曲面に接する二次曲線および二次曲面の数え上げ結果を、コホモロジー的データから厳密に導出すること。

提案手法

• 複素法束を持つ部分多様体 $X$ に沿った多様体 $M$ のブローアップ $\widetilde{M}$ を、射影束と球面束を用いた貼り合わせ手続きによって構成する。
• ブローアップの幾何構造に由来する分割を用いて $\widetilde{M}$ の接束を分析し、$K$-理論における表現を得る。
• 射影束構造と標準的ラインバンドルのチャーン類を用いて、$\widetilde{M}$ の整数係数コホモロジー環を導出する。
• $\widetilde{M}$ の接束の $K$-理論的分解と分割原理を用いて、全チャーン類を計算する。
• 一般公式を $\mathbb{P}^3$ の特定のケースに適用し、完全な二次曲線と完全な二次曲面の多様体のコホモロジー環を計算する。
• カップ積を用いた全チャーン類の特性数の評価により、シューベルト問題の解の数え上げを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素法束を持つ部分多様体に沿った多様体のブローアップの整数係数コホモロジー環は何か？
• RQ2 一般の滑らかなカテゴリーにおいて、このようなブローアップの全チャーン類は何か？
• RQ3 $\mathbb{P}^3$ 内の完全な二次曲線の多様体のコホモロジーはどのように明示的に計算できるか？
• RQ4 $\mathbb{P}^3$ 内の完全な二次曲面の多様体のコホモロジーはどのように明示的に計算できるか？
• RQ5 シューベルトの古典的数え上げ結果、すなわち一般の二次曲面に接する二次曲線および二次曲面の数は、コホモロジー的データから厳密に導出可能か？

主な発見

• 完全な二次曲線の多様体のコホモロジー環は、$H^*(\widetilde{M}) \cong \mathbb{Z}[x,y,z]/(x^2 - 2xy + y^2, y^3, z^2 - 2xz + 2yz - 2x^2)$ として明示的に提示され、生成子はそれぞれ次数2, 4, 6に存在する。
• 完全な二次曲面の多様体のコホモロジー環は、$H^*(\widetilde{N}) \cong \mathbb{Z}[u,v,w]/(u^2 - 2uv + v^2, v^3, w^2 - 2uw + 2vw - 2u^2)$ として明示的に提示され、生成子はそれぞれ次数2, 4, 6に存在する。
• 一般の8次曲面に接する二次曲線の数は正確に4,407,296個であり、これは $H^*(\widetilde{M})$ 内のクラス $8x + 6y + 2z$ の8乗の次数として計算される。
• 一般の9次曲面に接する二次曲面の数は正確に666,841,088個であり、これは $H^*(\widetilde{N})$ 内のクラス $12u + 6v + 2w$ の9乗の次数として計算される。
• 本稿は、$\mathbb{P}^3$ 内の完全な二次曲線および完全な二次曲面のパラメータ空間の最初の完全なコホモロジー的表現を提供し、長年の文献的空白を解消する。
• 結果はシューベルトが1891年に提示した古典的数え上げ結果を確認し、特性類と交差理論を用いた現代的なコホモロジー的根拠を提供する。